Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть пространство Лобачевского реализовано на верхней поле гиперболоида [х, х]=1. Тогда его орисферами являются сечения гиперболоида плоскостями вида [х, |]=1, где | — точка верхней полы конуса [|, |] = 0, ?„^>0. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между множеством орисфер пространства Лобачевского и трчкэми верхней полы конуса [|, |] = 0,
§ 4) РАЗЛОЖЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ SH (л) 52?
2. Инвариантное интегрирование в пространстве Лобачевского и на орисферах. Определим интегрирование в пространстве Лобачевского, инвариантное относительно операторов сдвига, т. е, такое, что
$/(x)rfx=$/(gx)rfx. (1)
Реализуем пространство Лобачевского на гиперболоиде [х, х]=1-
Элемент объема dv = dx\, .dxn в пространстве Еп_ 11 сохраняется при всех линейных преобразованиях с определителем 1, в том числе и при всех гиперболических поворотах, ВЕедем в области [х, х]^>0 новую систему координат xit .,,, хп_ь р, где ра = [х, х]. В этих переменных элемент объема dv примет следующий вид;
ffv _ Р d? dxt ¦.¦ dxn _ p tfp dxt ... dxn_i
Хп V i+Jcj + ... + Jcji_1-
Поскольку при гиперболических поворотах в пространстве Еп сохраняются как р, так и dv, то, следовательно, сохраняется и
__dxt ...dxn^_______ dxt ... йхп_л ,9Л
Хп Vl+JC. + ../+JCJ_1-
Формула (2) и определяет инвариантную меру в пространстве Лобачевского. Она аналогична установленной в п, 1 § 1 главы IX формуле для инвариантной меры на сфере.
Инвариантный интеграл по гиперболоиду [х, х] = 1 можно записать с помощью обобщенной функции 8([х, х] — 1) *). Именно, легко показать, что
$/(x)rfx = 2 $/(х)5([х, х]— \)dv. (3)
Инвариантность интеграла в правой части равенства (3) сразу вытекает из инвариантности меры dv и функции [х, х] при гиперболических поворотах пространства En^v t
Нам понадобится еще выражение инвариантной меры для пространства Лобачевского в гиперболических координатах 6V ,..,
(см, п. 1 § 1), Делая замену переменных по формуле (1) п, 1 § 1, получаем
dx = sli" 2 бл л sin" 3 0„ * .,. sin в.2 ... d6n л. (4)
Совершенно так же устанавливается, что инвариантная мера d\ на конусе [|, |1 = 0 задается формулой
__ d? 1 ¦, ¦ d?n_t _ dki .., d?n_t
~ €» + ...+ '
Относительно обобщенной функции S (P) см, [18], главу III, § 1, п. 3
и, в частности, стр, 276, Само собой разумеется, что в правой части равенства (4) под /(х) понимается непрерывное продолжение функции, заданной на гиперболоиде [х, х] = 1, на все пространство Еп_t) t,
528 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ [ГЛ, X
Выведем теперь формулу для инвариантного интегрирования по орисфере. В п. 1 было отмечено, что при реализации пространства Лобачевского на верхней поле гиперболоида [х, х]=1 уравнение орисферы в этом пространстве принимает вид [х, |] = 1, где [|, |] = 0.
Определим интеграл функции /(х) по орисфере со: [х, Ц=1 формулой
$/(x)tfu>=$/(x)8([x, |] — \)dx, (6)
OJ
где х — точка пространства Лобачевского, реализованного на гиперболоиде [х, х]=1, a dx — инвариантная мера в этом пространстве.
Так как мера dx и функция [х, |] сохраняются при одновременном сдвиге точек х и то определенная таким образом мера сохраняется при сдвиге орисферы. Отсюда следует, что если движение g
пространства Лобачевского перегодит орисферу со в орисферу gw, то имеет место равенство
S/(x)rf°V (?)
О) gOi
где rfojg. — мера на орисфере gio. В частности, если движение g переводит орисферу со в себя, то
$/(gx)rfco = {j f(x)dw. (8)
си си
3. Интегральное преобразование Гельфанда — Граева. Каждой финитной функции / (х) в пространстве Лобачевского поставим в соответствие ее интегралы по орисферам
h(M) = \f(x)du>, (1)
т
где й?со — определенная выше мера на орисфере со. Тем самым каждой финитной функции в пространстве Лобачевского ставится в соответствие другая функция, h (со), определенная на множестве орисфер этого пространства. Назовем преобразование, переводящее функцию /(х) в функцию h (со), интегральным преобразованием Гельфанда — Граева.
В п. 1 было показано, что множество орисфер можно рассматривать как множество точек верхней полы конуса [|, |] = 0 (каждой точке | этой полы соответствует орисфера [х, |] = 1). Поэтому функцию ft (со) можно рассматривать как функцию на верхней поле конуса и писать /г(|) вместо h (со). Таким образом, наше интегральное преобразование переводит пространство функций, заданных на верхней поле гиперболоида [х, х] = 1, в пространство функций, заданных на верхней поле конуса к. 11 = 0-
