Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
, ch 0 cos ф — sh 0 cos ф и — cos<psh0*
получаем
(—)
too [g„_! (6)] =---v 2„_-о, (ch 0 — cos ср sh 0)—+* sin Л-Зср f/cp. (8)
Этот же результат можно получить, заметив, что представления 7'/w(g) и jn, — л—a+2(g-) эквивалентны друг другу.
3. Выражение зональной функции через гипергеометрическую функцию. Вынесем в формуле (7) п. 2 за знак интеграла cha0, разложим (1 — cos ср th G)a по формуле бинома Ньютона и почленно проинтегрируем. Мы получим
*оо [gn-i (е)] =
гР^)Г(о + 1)! v f—l>*th*-0 С ь - ch‘ 6 2 T(,±kil)f-(k+Y) S cos * sin d^
0-
Так как
г(л+т)г(^
COSafccp sin" 3cpt/cp =-- ------—j-
T k + V-x-i-
ЗОНАЛЬНЫЕ И ПРИСОЕДИНЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
519
^ cos**'11? sin n~zfd<? = О, о
то
in° [ff„_i(0)] =
[ tl — 1 \ _, / , 00 „л , 1
lzdZ^=h-« V r(t+2)i"-“
У Я X 1т./ , . V Tl I L I П 1
Г (а — 2/г+ 1)Г(2Л + 1)Г /г +
fc=о \ 2
Но
l'(2*+l)=||l’(* + |)l’(*+l),
V
Г (o+l) =---
и
2J+i”2ft л у л
Г (о — 2/е+1) =--------------— ---------¦
' I ' / гТ \ / G _ 1
sin ояГ ( k — ) Г ( k
2 / \ 2 (см. п. 6 и 7 § 1 главы V). Поэтому
*oo[ft-i(S)]=
Г ch"0
л Г(л—2-|Г(Л-
a — 1
И— 1
Г(/г+ 1)
th2ft6. (2)
В силу формулы (4) п. 7 § 1 главы V и формулы (2) п. 1 § 1 главы VII отсюда вытекает
too [g-„_i (6)] = ch ж (- f- a^1\ ^; th* e). (3)
Таким образом, мы получили выражение too [ft~i (0)] через гипер-геометрическую функцию. Сравним это выражение с выражением ф?* (z) через гипергеомегрическую функцию (см, п, 4 § 1 главы VII). Мы получим
520 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ [ГЛ. X
4. Вычисление присоединенных сферических функций. Перейдем теперь к вычислению присоединенных сферических функций. Рассмотрим сначала случай, когда g является гиперболическим вращением на угол ср в плоскости jc„). Как мы видели выше, в этом слу-
чае имеем [g-x0> |] = ch0 — sh 0. Поэтому по формуле (1) п. 3 получаем
fXofe.-i(0))= $ (Ch0-?n4sh0rs^r)rf|'. (1)
sn-2
Перейдем к сферическим координатам и подставим вместо (|') выражение (2) из п. 1.
Из соотношений ортогональности для многочленов Гегенбауэра получим, что t^o (gn-i СО) отлично от нуля лишь, если kx==k^ = ...= = ?n 3 = 01). Если же K=(k, 0, ... , 0), то после несложных преобразований получаем
г /я —3
упа ( __ \ 2 / f k\ (п + 2/г — 3)Г(и—2) ч/
i-m ten-Л*))--— -{1-=яУ -------Г(Л-+Л-3)-----Х
л —3
X J (ch G — cos ср sh OyCk 2 (cos cp) sinn"3cpflfcp = о
n — 3\
~i /~k\ (/г+2/г— 3)Г(/г —2)
I/ Т» ! A Q\
2 Уп т(п~2} * T(n + k-3)
2
I Vz — 3 n —4
x j (ch0 — jcsh6)acft2 (jc)(1 — JC2) 2 dx. (2) -i
Но по формуле (7) п. 8 § 4 главы IX
tt—4 и—3 (1-ЛГ*)~С7" (X) :
2feX (n — 3) Г |
Подставим это выражение в формулу (2) и k раз проинтегрируем
‘) Это вытекает также из леммы Шура, если принять во внимание, что Тпа [?л-1 (0)] коммутирует со всеми операторами ТПа (h), h?SQ(n—2), И учесть вид матрицы тПа (ft).
§3J ЗОНАЛЬНЫЕ И ПРИСОЕДИНЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 521
по частям. Мы получим
( 1)*Г Г (о -)- 1) sh*0
tnK0 [&_! (0)] =-----=-------—,п=г------------N-------х
2*+i Т(п — 3)Г [l—± + k\ Г (а — ft+1)
X + 2к — 3) Г(п — 2)Г(«-f ft --3)
1
X ^ (ch 6 — jcsh6)aft(l—-v2)^ 2 dx. (3)
П — 4
Но по формуле (7) п. 2
1 к 1 Д~4 $ (chG — jcsh6)^ft (1 — jc2) + 2 dx--