Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 210

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 204 205 206 207 208 209 < 210 > 211 212 213 214 215 216 .. 241 >> Следующая


, ch 0 cos ф — sh 0 cos ф и — cos<psh0*

получаем

(—)

too [g„_! (6)] =---v 2„_-о, (ch 0 — cos ср sh 0)—+* sin Л-Зср f/cp. (8)

Этот же результат можно получить, заметив, что представления 7'/w(g) и jn, — л—a+2(g-) эквивалентны друг другу.

3. Выражение зональной функции через гипергеометрическую функцию. Вынесем в формуле (7) п. 2 за знак интеграла cha0, разложим (1 — cos ср th G)a по формуле бинома Ньютона и почленно проинтегрируем. Мы получим

*оо [gn-i (е)] =

гР^)Г(о + 1)! v f—l>*th*-0 С ь - ch‘ 6 2 T(,±kil)f-(k+Y) S cos * sin d^

0-

Так как

г(л+т)г(^

COSafccp sin" 3cpt/cp =-- ------—j-

T k + V-x-i-
ЗОНАЛЬНЫЕ И ПРИСОЕДИНЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

519

^ cos**'11? sin n~zfd<? = О, о

то

in° [ff„_i(0)] =

[ tl — 1 \ _, / , 00 „л , 1

lzdZ^=h-« V r(t+2)i"-“

У Я X 1т./ , . V Tl I L I П 1

Г (а — 2/г+ 1)Г(2Л + 1)Г /г +

fc=о \ 2

Но

l'(2*+l)=||l’(* + |)l’(*+l),

V

Г (o+l) =---

и

2J+i”2ft л у л

Г (о — 2/е+1) =--------------— ---------¦

' I ' / гТ \ / G _ 1

sin ояГ ( k — ) Г ( k

2 / \ 2 (см. п. 6 и 7 § 1 главы V). Поэтому

*oo[ft-i(S)]=

Г ch"0

л Г(л—2-|Г(Л-

a — 1

И— 1

Г(/г+ 1)

th2ft6. (2)

В силу формулы (4) п. 7 § 1 главы V и формулы (2) п. 1 § 1 главы VII отсюда вытекает

too [g-„_i (6)] = ch ж (- f- a^1\ ^; th* e). (3)

Таким образом, мы получили выражение too [ft~i (0)] через гипер-геометрическую функцию. Сравним это выражение с выражением ф?* (z) через гипергеомегрическую функцию (см, п, 4 § 1 главы VII). Мы получим
520 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ [ГЛ. X

4. Вычисление присоединенных сферических функций. Перейдем теперь к вычислению присоединенных сферических функций. Рассмотрим сначала случай, когда g является гиперболическим вращением на угол ср в плоскости jc„). Как мы видели выше, в этом слу-

чае имеем [g-x0> |] = ch0 — sh 0. Поэтому по формуле (1) п. 3 получаем

fXofe.-i(0))= $ (Ch0-?n4sh0rs^r)rf|'. (1)

sn-2

Перейдем к сферическим координатам и подставим вместо (|') выражение (2) из п. 1.

Из соотношений ортогональности для многочленов Гегенбауэра получим, что t^o (gn-i СО) отлично от нуля лишь, если kx==k^ = ...= = ?n 3 = 01). Если же K=(k, 0, ... , 0), то после несложных преобразований получаем

г /я —3

упа ( __ \ 2 / f k\ (п + 2/г — 3)Г(и—2) ч/

i-m ten-Л*))--— -{1-=яУ -------Г(Л-+Л-3)-----Х

л —3

X J (ch G — cos ср sh OyCk 2 (cos cp) sinn"3cpflfcp = о

n — 3\

~i /~k\ (/г+2/г— 3)Г(/г —2)

I/ Т» ! A Q\

2 Уп т(п~2} * T(n + k-3)

2

I Vz — 3 n —4

x j (ch0 — jcsh6)acft2 (jc)(1 — JC2) 2 dx. (2) -i

Но по формуле (7) п. 8 § 4 главы IX

tt—4 и—3 (1-ЛГ*)~С7" (X) :

2feX (n — 3) Г |

Подставим это выражение в формулу (2) и k раз проинтегрируем

‘) Это вытекает также из леммы Шура, если принять во внимание, что Тпа [?л-1 (0)] коммутирует со всеми операторами ТПа (h), h?SQ(n—2), И учесть вид матрицы тПа (ft).
§3J ЗОНАЛЬНЫЕ И ПРИСОЕДИНЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 521

по частям. Мы получим

( 1)*Г Г (о -)- 1) sh*0

tnK0 [&_! (0)] =-----=-------—,п=г------------N-------х

2*+i Т(п — 3)Г [l—± + k\ Г (а — ft+1)

X + 2к — 3) Г(п — 2)Г(«-f ft --3)

1

X ^ (ch 6 — jcsh6)aft(l—-v2)^ 2 dx. (3)

П — 4

Но по формуле (7) п. 2

1 к 1 Д~4 $ (chG — jcsh6)^ft (1 — jc2) + 2 dx--
Предыдущая << 1 .. 204 205 206 207 208 209 < 210 > 211 212 213 214 215 216 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed