Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
1. Построение базиса в пространстве ф. Согласно п. 1 § 2 представления Т™ (g) группы SH(ri) строятся в пространстве 3) бесконечно дифференцируемых функций на сфере 5n~i. Введем в это пространство скалярное произведение
(F, F)= \ \F(l')\2dl' (1)
sn~ 2
и пополним его относительно нормы \\F\\Z = (F, F). Мы получим гильбертово пространство 82 (5я-*). Будем считать, что представление Тпа (g) реализовано в этом гильбертовом пространстве.
516 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ [ГЛ. X
В этой главе будут изучены матричные элементы представления Тпа (g). Они вычисляются в ортогональном нормированном базисе в пространстве %2(Sn~2), состоящем из функций вида
п — 4 п — / — 3
= 2 (cos sin*/-)-' (2)
j = o kj-kj+i
где cpi, ..., — географические координаты на сфере Sn~2,
K=(k о, ..., ±kn_2), ?0 5= kx 5»... ?л_3 О
и
w2=rT^x
т\~1
2&;i_1+rt — j—5 In__ i _3 . \
»-« 2 '+1 + . (,kj - k hl)\ (n - j + 2kj - 3) Г2 ” .. + kjA
X П--------------------|A^r(t; + tftl + .-j-3)-----------------• <3>
Этот базис был рассмотрен нами в п. 6 § 3 главы IX1). Там было показано, что в этом базисе матрица квазирегулярного представления группы SO(n— 1) является клеточно-диагональной, причем на главной диагонали стоят канонические матрицы неприводимых унитарных представлений этой группы.
Одним из базисных элементов является функция 30(|'), 0 = = (0,..., 0), тождественно равная 1. Ясно, что при всех вращениях сферы Sn~2 этот элемент инвариантен:
Е0 (/*!') = Е0 (Г),- h€SO(n-l).
Как было показано в п. 5 § 2 главы I, отсюда следует, что матричные элементы t*/Q (g) удовлетворяют функциональному уравнению
t^0(gh) =tK0(g)’ h G SO(n— 1), (4)
а матричные элементы t“*K(g) — уравнению
^a-(V) = *ок(?)> h?S0(n — 1). (5)
В частности, матричный элемент Р?0 (g), т. е. зональная сферическая функция, удовлетворяет функциональному уравнению
too(h^hd = t’oo(gl hu (= SO (n— 1). (6)
‘) Мы несколько изменим обозначения по сравнению с главой IX, внеся число l — k0 в символ К- Поэтому, например, базисный элемент 30.(§.'.) в главе IX обозначался бы SJJ (§')=!.
§ 3] ЗОНАЛЬНЫЕ И ПРИСОЕДИНЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 517
Поскольку любой элемент g группы SH(n) можно представить в виде g=h1gn_1(№-\)fk, где ht, ^ SO(п — 1) и б"!} —угол Эйлера элемента g, то имеем
Таким образом, матричный элемент t™Q(g) зависит только от угла Эйлера элемента g.
2. Интегральное представление зональных и присоединенных сферических функций. Чтобы вывести интегральное представление сферических функций, воспользуемся формулой
t%>(g) = (Ta'(g)E0,'SK), (1)
где (Fb /у — скалярное произведение в пространстве I'2 (5л"а):
(F»FJ= $ /•', (Г) МГ) (2)
sn-2
Через Е0 (ift здесь обозначена функция на сфере Sn i, тождественно равная 1. Будем обозначать тем же символом однородную функцию степени о на конусе [§, 1] = 0, равную единице при ?л=1. Иными словами, положим Е0 (?) = ?“.
Обозначим через х0 точку с координатами (0, 0, ... , 1). Тогда Е0(|) можно записать в виде
E0(g) = S'„= [хЛГ. (3)
Оператор Tna(g) переводит функцию Е0(|) в функцию
7',,afe)Ho(l) = E0fe Ч)= [х0, g 'lY-
Но выражение [х, у] инвариантно относительно сдвигов из группы Sfi(n):
[х, y] = [gx, gy],
поэтому имеем
7"° fe)E0(g) =[**„, 1Г. (4)
Из формул (1), (2) и (4) вытекает, что
tK0(g)= $ [gx0, бГЁЙГ)^'. (5)
Sn-2
где l = (?i, .... S„_i, 1), l' = (2i. ••• , i).
В частности,
too(g)= 5 [gx0, INS- (6)
s"-*
518 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ [ГЛ. X
Поскольку зональная сферическая функция зависит только от угла Эйлера 0*"}, достаточно вычислить ее для случая, когда g является гиперболическим вращением на угол в в плоскости (хп_„ хп). Это вращение переводит х0(0, ... , 0, 1) в х (0, ..., she, ch0). Поэтому
[g^o, g] = ch 0 — S^sh 0
И
/оо0?„л (f>))= ^ (ch 0 — En-ish 6)a d%’. sn~-
Переходя к сферическим координатам, получаем отсюда
г (нг1) Г
too[gn-1(6)]— „ m — 2\ I (ch 6 — cos cp Sh 0)CT. sin л 3cp Cfcp. (7)
Тем самым мы получили интегральное представление зональной сферической функции. Делая подстановку
