Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
г(^+«
и потому при K={k, 0, ... , 0)
(_1)*г(^]г(о+1)
ttco [&.-1 (0)] =
2*«Г (л - 3) Г 2~i + ft) Г (а - ft + 1) '
X уГ(П'+'2*-=3)Т(П ~ 2) Г(”'+ k ~'3) ShftQ fot™’ j - k [gn^ (6)]. (4)
Выражение же для too2k' °~k [&i+2/t-i (0)1 чеРез присоединенные функции Лежандра нам уже известно (см. формулу (4) п. 3). Поэтому имеем
(_1)*2Тгр=^)г(а+1)
= “ Г (п — 3) Г (а — /Е —1)
3 — п 3 — п
~2~ с +
X l/"'(” + 2к 3) Г-(”^-2— (n + k ~3> Sh 2 65Ц 2л“_з(сье). (5)
° ~~2
Найдем теперь выражение для матричных элементов вида toK[gn-i (0)]-В п. 2 § 2 было доказано, что представления Тпа (g) и Тп> ~n~a+2(g) группы SH(n) эрмитово сопряжены друг другу. Отсюда вытекает равенство
toK ig) = (TnQ (g) EK, E0) = (SK, T". (g l) So)
'¦‘id =
=(7»._я_а+ааг-1)!3о( a^)=^-,,-a+V). (6)
где #=(?, kv ... , +kn^).
522 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ [ГЛ. X
Из формулы (2) вытекает
<&-"-в+а [ff-i (- е)] = (- D*^o""~'+a [gn-г (0)].
Мы доказали, что
toxign л (6)) = (- 1)‘<?ten.л т (?)
Перейдем к вычислению присоединенных сферических функций tfco(g) Для произвольного элемента g группы SH(n). Пусть углы Эйлера этого элемента равны 0{. Из равенства (4) п. 1 вытекает, что tnK0(g) = tnK°0(g), где
g'=gi0" Ъ. - (0"~Ъ-
Положим
А' = а(01_1)...вл-«(02=а).
Тогда g'= h’gn l (O^Zi), и так как
Tn°(g)=Tn°(h')Tn°[gn^(rnz\)],
ТО
tnKO (§0 = 2 tnKM (h’) 1мо [#¦„_ , (8" _})]. (8)
м
Элементы t^o [йх-i (®л — {)] мы вычислили выше и показали, что они отличны от нуля, лишь если М = {т, 0, ... , 0). Нам осталось найти tnxM{h'). Но, как было показано в п. 1 § 2, сужение представления Тпа (g) на подгруппу SO {п — 1) является квазирегулярным представлением этой подгруппы.
В базисе 3^(1') матрица квазирегулярного представления группы SO (п—1) клеточно-диагональна, причем на главной диагонали этой матрицы стоят канонические матрицы неприводимых унитарных представлений Tn~{’k(h) группы SO(n—1). Поэтому элементы где M = (tn, 0, ... , 0), K=(k, kb ... , ±kn_3), равны нулю, если tn^k. Если же m = k, то tn^M{h’) = tnK^)}'h(h’), где К' = (къ ... ... , ±"?л_3) и 0' = (0, ... , 0). Подставляя это значение в формулу (1), получаем . . .
tnKO (§0 = tnKr0}- * (//) Qo № 1 (6Г!)],
где M = {k, 0, ... , 0).
Заменим в этой формуле оба сомножителя их выражениями через присоединенные функции Лежандра и многочлены Гегенбауэра (см. формулу (7) п. 1 § 4 главы IX и формулу (5) п. 4). Мы получим
С te) = % feO=в%0 (ch e«-}) X
°+-2-
XllCft -ft + */+1 (C0S К-)-** sinft/+1 K-)-2e±lkn~ibl ’
, 0 > ^
§ 3] ЗОНАЛЬНЫЕ И ПРИСОЕДИНЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 523
где k0 = k и
п —3
О_____________( 1) 2 2 Г (о 1) w
и КО — т /- h I 1 \ а
Г(а-Лв+1)
п — 4
2*,'. 1 +Л-У-5
У=0
X (я ¦-;+щ - 3)г (—2— + ^.)]1/2- (10)
б. Теорема сложения для функций Лежандра. Пользуясь установленной выше связью между функциями Лежандра и матричными элементами нулевого столбца матрицы Tna(g), выведем новую теорему сложения для функций Лежандра.
Рассмотрим элемент
?= gn-l (®l) gn-i (?i) gn-l (®s) (1)
группы SH(n), где, по принятым нами обозначениям, gn_t (6^ и gn_y (62)— гиперболические вращения в плоскости (хп, a gn_i(f 1) — вращение в плоскости хпл). Это вращение переводит точку М
с координатами (0, 0, 1) в точку М'(хь xj, где
хп = cos cos е2 -(- sin sin e2 cos tpb
Из результатов п. 4 § 1 отсюда следует, что угол 0"з} = 6 вращения g
определяется формулой
ch 6 = ch6j ch ба —f— sh 0j sh 02 cos (2)
Из равенства (1) вытекает, что
*оо (S') = 2 tn0K (ei)l tnm [&•-* (?)] tnm (6*)] =
к, M
= S (- !)m 1ок Г&-1 (°.)I inm fa.-* (?)] ^"Л“а+2 te*-' ^)]’ (3)
к, M
где M = (ot0. mb qp
Как было показано в п. 4, элементы t™K [§¦„ л (Si)] и t^ign 1(62)]
отличны от нуля лишь, если К= (k, 0,..., 0) и М = М = (т, 0,..., 0), а элемент t™M[gn-а(<р)] отличен от нуля, лишь если k = m. Поэтому равенство (3) принимает вид
ОО
tnoo (g) = S (- !)* *0* (°.) l X
X tnKK [gn -Ч Cfl)J 1ОК~П"* + 2 [ёп-1 (®*)]» (4)
