Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
В реальном опыте импульсы электронов в пучке имеют конечный разброс. Для простоты допустим, что каждое значение импульса в интервале (р0—q\ po+q) равновероятно. Величина q характеризует разброс импульсов. Для определенности допустим, что q=
— Ю~йр0, т. е. импульс определен с погрешностью 1%.
Наблюдая дифракционную картину для такого пучка, мы увидим не распределение / (0, р0), а его среднее значение по всему интервалу возможных значений импульса. Обозначим это среднее через
*) В этих рассуждениях мы полагаем %—с~ 1.
8* Зак. 127
235
/(9). Его легко вычислить:
Ро+Я
7(0) = Yq S dpI{Q’ Р) =
Ра—Q
— or ta\ f 1 , cos (2apo sin 0) sin {2aq sin 0) \
+ 2^ib0---------------------)¦ (29a>
Заметим, что, устремляя в этом выражении q к нулю, мы возвращаемся к выражению (28а).
В соответствии с нашими конкретными условиями арй=л-\0^ и q=lO~2p0 из (29а) получаем
sin [(2л-103) sin 0]
|/ (0)-2/о(0)|<2/о(0)
(2л • 103) sin I
(29b)
В направлении строго вперед, т. е. для 0=0, из формулы (29а) следует, что /(8)=4/о(0). Длязтого частного случая мы всегда, независимо от импульса р, имеем конструктивную интерференцию. Предположим, однако, что мы производим наблюдения для других направлений, например для углов 0, удовлетворяющих условию jsin 0|>(2л)-1.10-1л;0,016. Из неравенства (29Ь) в этом случае следует
|/(0)-2/о(0)|< 1О~*.2/о(0). (29с)
Для таких углов дифракцию от двух щелей наблюдать трудно. Действительно, с погрешностью до 1 % распределение интенсивностей совпадает с соответствующим распределением для дифракции от одной щели.
30. Из классической теории биллиардных шаров, примененной в п. 41 гл. 4 к фотонам, следовало, что интенсивность в опыте с двумя щелями равна
/*(0)=2/о(0). (30а)
В этой модели нет интерференции, и основанные на ней предсказания неверны и противоречат опыту. Если, однако, сравнить предсказание (30а) с предсказанием, выраженным неравенством (29с), то можно заметить, что в некоторых случаях предсказание (30а) будет казаться правильным. Если по каким-либо причинам квантовомеханические интерференционные эффекты «размываются», получаются результаты, предсказываемые классической теорией.
Наши рассуждения служат хорошим примером одного из аспектов «перехода к классическому пределу». Предположим, что в рассматриваемом примере энергия электронов равна 10 эВ. Тогда расстояние 2а между щелями будет 0,04 мм, и такое расстояние можно
считать макроскопической величиной. Несмотря на это, квантово-
механическая интерференция в данном случае существует, но, чтобы ее наблюдать, нужно иметь такой источник электронов, чтобы разброс q импульсов был достаточно мал. В противном случае квантовомеханическая «симфония» растворится в шуме.
236
31. В качестве другого примера исчезновения интерференционных эффектов рассмотрим наблюдение интерференционных полос в интерферометре Майкельсона (рис. 31А). Свет натриевой лампы «расщепляется» полупосеребренным зеркалом, и смысл опыта заключается в наблюдении интерференции между двумя пучками, Зеркало?
идущими к наблюдателю от зер- *
кал 1 и 2. На рисунке плечи Lj и L2 интерферометра имеют разную длину. Разность хода интерферирующих пучков d=
= 2 (L2—Lx). Возникает вопрос: можно ли наблюдать интерференционные полосы при произвольно большом а?
Ответ заключается в том, что это возможно лишь в принципе, но не в действительности.
Точность, с которой определена длина световой волны, накладывает предел на разность хода d, при которой интерференционная картина еще видна. Практически длина волны никогда не определена совершенно точно.
Рассмотрим испущенный источником фотон, которому соответствует частота со. Та часть фотона, которая приходит от зеркала 2, запаздывает по фазе от части, приходящей от зеркала 1, на величину
®------
Источник
света
/7олулрозраШ8
зеркала.
-i..
Л'наблюдателю
Рис. 31А. Схема интерферометра Майкель* сона с плечами Lj и L2 неравной длины. Максимальная разность хода 2{L2—LX), при которой интерференция еще наблюдаема, зависит от ширины спектральной линии почти монохроматического источника света
(31а)
где Я — длина волны. Рассмотрим две различные частоты а' со". Разность запаздываний по фазе для этих частот равна
б (со') _ б (со") = (со'—со") d.
(31b)
Если эта разность мала, т. е. если |6 (со')—б (со") |<^л, то интерференционные полосы для обеих частот будут с большой точностью совпадать. С другой стороны, если эта разность равная, т. е. если |б(со')— •—б (со") |=л, то конструктивной интерференции для частоты со' будет отвечать деструктивная интерференция для частоты со”, и наоборот. При наложении двух систем полос, отвечающих этим частотам, мы вообще не увидим полос. Таким образом, мы приходим к простому критерию видимости полос: ширина частотной полосы Лео источника должна быть такой, чтобы
