Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
Мы указывали, что если источником электронов служит накаливаемая нить с ускоряющим электродом, то электроны, проходящие через щель в Sb не могут иметь точно определенного импульса.
[Мы можем, конечно, изготовить весьма монохроматический источник, воспользовавшись каким-нибудь «фильтром импульсов». Такому источнику, дающему электроны с очень малым разбросом импульсов, отвечает ансамбль р(/?).] Обозначим статистический ансамбль, соответствующий простому источнику с нитью и электродом, через р. В соответствии с рассуждениями п. 29,
Ро + <Г
Av[?)(0);pJ = /(0) = ^-q J dp Av [D (0); p (/»)]. (40c)
Сравнил; это выражение с выражением (39с). Очевидно, что ансамбль р, соответствующий «реальному» источнику электронов, можно считать некогерентной суперпозицией идеальных источников, соответствующих ансамблям р (р). Другими словами, по аналогии с (39Ь) мы имеем
Ро + Ч
Р=^ j dpp(p). (40d>
Ро-<7
Амплитуды и интенсивности
41. Различие между когерентной и некогерентной суперпозициями можно выразить следующим образом: в первом случае происходит сложение амплитуд, во втором—сложение интенсивностей.
Рассмотрим квантовомеханические представления об амплитудах и интенсивностях. На рис. 41А показана схема опыта с двумя расположенными рядом экранами, каждый из которых содержит две щели. Пусть частицы, проходящие через щель в экране S, имеют определенный импульс и их интенсивность равна одной частице в секунду. Мы наблюдаем поток частиц через остальные пять щелей, каждый раз помещая счетчик непосредственно за одной из них. Если измеренное для данной щели число отсчетов равно Р частиц
244
в секунду, мы говорим, что Р пропорционально вероятности того, что частица, проходящая через щель в S, проходит через рассматриваемую щель.
Предположим, что длина волны частицы велика по сравнению с шириной щели и что ширина всех щелей одинакова. В этом случае мы можем говорить о комплексной амплитуде волны в щели.
42. Пусть — амплитуда волны в щели Г, когда амплитуда волны в щели S равна единице. Аналогично, А 3 — амплитуда волны в щели 2' при том же условии. Пусть Вп — амплитуда волны в щели 1", когда амплитуда в щели Г равна единице, но амплитуда в щели 2' равна нулю. Аналогично, В21 — амплитуда волны в щели 1”, когда амплитуда в щели Г равна нулю, но амплитуда в щели 2' равна единице. Через С1 обозначим амплитуду в щели экрана D, когда амплитуда в щели 1" равна единице, а амплитуда в щели 2" равна нулю. Остальные амплитуды определены аналогичным образом. Назовем их амплитудами перехода, потому что они описывают распространение волн через щели слева направо. Эти переходы обозначены на рис. 41А штриховыми линиями. С каждой такой линией связана своя амплитуда перехода.
Амплитуды перехода являются комплексными числами. Квадрат их модуля определяет вероятность перехода следующим образом: Р[=\Аг\2 равно вероятности того, что частица, прошедшая через щель в S, будет зарегистрирована непосредственно за щелью 1'\ Р'%=\Аг\г равно вероятности регистрации частицы, прошедшей через щель в S, за щелью 2'\ Рц= |й12|2 равно вероятности того, что частица, прошедшая через щель Г, пройдет и через щель 2". В этом случае щель 2' должна быть закрыта, чтобы быть уверенным в том, что частица действительно прошла через щель Г. Квадрат модуля остальных амплитуд перехода имеет аналогичный смысл. Перечислим все вероятности перехода, соответствующие восьми амплитудам:
Читателю следует тщательно обдумать, как можно измерить эти вероятности со счетчиками, закрывая, если это необходимо, некоторые щели.
S' S‘
Рис. 41А. Идеализированный опыт с двумя двойными шелями (п. 41—43). Частицы ^фотоны) выходят из щели в 5. Нас интересуют вероятности прохождения частиц через остальные щели, в частности через шель в D. Для каждой щели мы должны складывать амплитуды поли, а не их интенсивности. Комплексными числами
В , С обозначены амплитуды пере-т тп т ^
хода между щелями. Все интересующие нас вероятности выражаются через эти
амплитуды
числами
245
43. Зададим теперь следующий вопрос: пусть все щели открыты; чему в этом случае равна вероятность Р того, что частица, пройдя через щель в S, пройдет через щель в D?
Без долгих размышлений скажем: так как нам известны вероятности перехода через щели, то найдем Р, например, комбинируя эти вероятности по правилам теории вероятностей. Вероятность того, что частица пройдет через щель 1", была бы равна сумме вероятностей ее прохождения от щелей /' и 2' к щели 1". Иными словами, она равна Р^Рц+Р^Рц. Такой способ рассуждения привел бы нас к неверному результату:
Теперь напишем верный ответ:
Р — I (^1^11 + 4" (-^1^12 + (43b)
Он, разумеется, отличается от выражения (43а). В каждой щели следует складывать амплитуды приходящих к щели волн, так как волны интерферируют. Выражение (43Ь) — это верный ответ, согласующийся с квантовой механикой, тогда как выражение (43а) — лишь предсказание, следующее из классической теории.
