Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
35. Рассмотрим статистический ансамбль. Для определенности предположим, что речь идет о пучке электронов, выпущенных из ускорителя, который работает в стабильных условиях и удовлетворяет самым совершенным техническим требованиям. Мы производим повторяющиеся измерения некоторой физической величины, например импульса электрона р в направлении пучка. Обозначим среднее значение импульса, полученное в длинной последовательности измерений, символом
Av (р; р),
где р — статистический ансамбль, т. е. наш пучок. Величину Av (р; р) называют средним импульсом р по ансамблю. Среднее по ансамблю значение квадрата импульса обозначается Av(p2; р). В общем случае Av (р2; р) не равно [Av (р; р)]2. Действительно, если мы обозначим измеренные значения импульса через р2, . . ., pN, то средние значения импульса и квадрата импульса будут равны
Av (р; р) = М-12Р„, Av(p2; p) = N~iXp%. (35а)
k k
Напишет»! тождество, которое читатель легко проверит:
Av(p2; р) —[Av(p; р)]2 = ЛГ12 [рк—Av (р; p)]J. (35Ь)
k
Правая часть (35Ь) представляет собой сумму неотрицательных членов, откуда следует
Av(p2; р)—[Av(p; р)]2>0, (35с)
где знак равенства относится к тому и только к тому случаю, когда
все импульсы ри (k—l, 2......N) равны. В этом случае все частицы
в пучке имеют точно одинаковые импульсы.
Величина в левой части (35с) является мерой статистического разброса переменной р. В общем случае она больше нуля, и мы мо-
240
жем сказать, что в нашем ансамбле имеет место некоторый разброс значений импульсов.
36. Подобно импульсу, можно обсудить и другие физические переменные. Для данного ансамбля (пучок) можно определить их средние значения и дисперсию, под которой мы понимаем статистический разброс, определенный по аналогии с левой частью (35с). Простейшей из таких переменных является срабатывание счетчика.
Мстмнцк Счетчик Ммлумс элех/лрта Bfl Гс-см
Рис. 36А. Принцип работы так называемого полукругового p-спектрометра. Он применяется для измерения распределения импульсов (или энергии) электронов, испускаемых при распаде радиоактивных ядер. С помощью щелей выбираются электроны, траектории которых лежат вблизи плоскости чертежа. Прибор помещен в однородное магнитное тюле, перпендикулярное к плоскости чертежа. Траектории представляют собой дуги окружностей, радиус которых зависит от импульса электронов. Система щелей расположена таким образом, что счетчика могут достичь лишь те электроны, раднус траектории которых заключен в определенном небольшом интервале значений. Регистрируя число электронов, проходящих через счетчик в единицу времени при различных вначеннях магнитного поля, мы получаем распределение испущенных электронов по импульсам, т. е. относительное число электронов, испущенных в различных интервалах импульсов
Рис. 36В. |3-спектр 82Р, показывающий распределение электронов по импульсам. Максимальному импульсу 7200 Гс*см отвечает кинетическая энергия 1,7 МэВ. Энергия электронов лежит между нулем и этим верхним пределом, так как полная энергия, выделяющаяся при распаде, распределяется (случайным образом) между электроном и антинейтрино
Обозначим ее через D и условимся считать, что 0 = 1, если счетчик в данном эксперименте с одним фотоном срабатывает, и D—0, если он не срабатывает. Тогда Av (D; р) будет вероятностью срабатывания счетчика в опыте с единичным элементом статистического ансамбля р.
На первый взгляд может показаться, что переменная D другого типа, чем переменная импульса р. Можно думать, что р относится к системе, т. е. к частицам пучка, тогда как величина D связана с измерительным прибором. Следует понимать, однако, что вся наша информация о свойствах системы получена из наблюдения за реакцией измерительных приборов, и такое понятие, как внутренние свойства системы, является абстракцией. Если известна вероятность срабатывания данного счетчика, помещенного в данном месте, то нам известно нечто о природе статистического ансамбля, в данном случае о природе пучка частиц. В действительности импульс частиц в пучке часто измеряется счетчиками, как это показано, например, на рис. 36А.
37. Продолжим теперь обсуждение примера, рассмотренного в п. 26. Мы имели там источник света, состоящий из двух ламп — натриевой и ртутной. Начнем с опыта, в котором работает лишь натриевая лампа и пучок света состоит, таким образом, из одних
241
«желтых» фотонов. Этот пучок можно описать статистическим ансамблем фотонов рх. Для такого ансамбля среднее значение d1 некоторой переменной D, измеряемой счетчиком, равно
Av (D; Pl)=^. (37а)
Теперь включим только ртутную лампу. Мы будем иметь дело со статистическим ансамблем р2, и усредненное по ансамблю значение той же переменной D будет равно
