Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
256
Глава 19
таких функций также является собственной функцией. Но если G?1 не равны нулю, то (19.11) показывает, что с точностью до постоянного множителя собственные функции могут быть записаны в виде')
Ф’Да. Р. Т) = (-1Г’ ®"Ч!а. P.-rlV,
(v = — I, — l+l......./—1. О- (19.11a)
Позднее, когда мы будем рассматривать симметрию относительно отражений, окажется, что пары собственных значений равны: Ен = Е_ч1, так что все /+1 различных собственных значений имеют одно и то же орбитальное квантовое число.
Если все три момента инерции равны, то нормальное положение совершенно не определено, и собственные функции (19.11а) остаются собственными функциями при замене (а, (3, f} на {а, р, ~{}R, где R — произвольное вращение. Таким образом,
(_1)^©">({а> Т}Я) Р. Т)
X
принадлежит тому же собственному значению, что и (—1)и'_'‘X Х3)<0( {а> Р> f})|iv Этому же собственному значению принадлежит и
= (const).(-ir*©№({a, р, Т})^. (19.12)
Следовательно, в этом случае все собственные значения Е_и1, Е•••• Ем совпадают и каждому орбитальному квантовому числу принадлежит только одно собственное значение; это собственное значение имеет (21 -)- 1)2-кратное вырождение.
Таким образом, если по крайней мере два момента инерции волчка равны между собой, собственные функции даются в явном виде формулой (19.11а). Соответствующие собственные значения
можно найти, если подставить эти функции [т. е. ({a, р, f} )„„] для каждого собственного значения в уравнение Шредингера, взять
такие значения а, р и f, при которых ф^ (a, p,f) не обращается
в нуль (например, a = p = f = 0), и разделить на ф^(а, р, *f).
¦) Состояние определяется квантовыми числами /, ц и бегущим квантовым числом N, которое позволяет различать между различными состояниями, имеющими одни и те же значения / и fx. В рассматриваемом случае бегущее квантовое число N равно просто v.
Частичное определение собственных функций 257
Уравнение Шредингера для симметричного волчка1) может быть решено непосредственно в гипергеометрических функциях2). Соотношение между коэффициентами представления и гипергео-метрической функцией (при p^-v) имеет вид
Г~Г\г--\ ¦ т, I cos2'+^ i Р sin'1-1' i ?
М (-оч ____j/ Iх) __________?________ __чу
“ Ф^-Г (/ + v)! (/ — fx)! (fx — v)! Л
—V —/, Ji — v + l, -tg2ip). (19.13)
4. Прежде чем переходить к обсуждению четности, выведем
еще одно соотношение:
dU) (* - = (-1)'-^(/) (?)„_,. (19.14)
В гл. 15 коэффициенты представления были полностью определены; возьмем d(0(P)^ из (15.27):
Мы 1V /(/ + f*)l(/-f*)l(/ + 4)l(/-4)l ч,
a {?)».•> —4 (/ —n —x)!(/ + v —x)!iс!(х+ц —v)! ^
X
X cos2i-|,-+''_2* yP sln2xH“t*-—11 у p. (19.15)
Если в этом выражении вместо (3 подставить тс —|3, то синусы
в (19.15) переходят в косинусы, а косинусы — в синусы |так как
cos^— x^=slnxj. Если одновременно вместо.индекса * ввести
индекс %' = 1 — ц — *, по которому производится суммирование, то (19.15) принимает вид
г/w w V, V(^ + t*)! (I—t*)! (I + '')*• (^~~^Я v
d[> ' x'!(|i+v+x')!(/-|x—v— *')•'
X'
• Xsin2l'+,1+Vl pcos2'-^"21' -ip. (19.16)
¦) Квантовомеханическая теория симметричного волчка рассматривалась в следующих работах: Н. Rademacher, F. Reich е, Zs. f. Phys., 39, 444 (1926); 41, 453 (1927); R. de L. К г о n i g, I. I. Rabi, Phys. Rev., 29, 262 (1927); С. M a n e b a с k, Zs. f. Phys., 28, 76 (1927); J. H. van Vleck, Phys, Rev. 33, 476 (1929). Теория асимметричного волчка рассматривалась в работах: Е. Е. W i t m е г, Ргос. Nat. Acad., 13, 60 (1927).
S. С. W a n g, Phys. Rev., 34, 243 (1929); H. A. Kramers, O. P. Ittman. Zs. f. Phys., 53, 553 (1929); 58, 217 (1929); 60, 663 (1930); O. Klein, Zs. f. Phys., 58, 730 (1929); H. С a s i m i r, Zs. f. Phys., 59, 623 (1930).
a) См., например, P. M. Morse, H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics, Pt. 1, New York, 1953, p. 388, 542 (см. перевод: Ф. Морс и Г. Фешбах, Методы теоретической физики, ИЛ, 1958).
258
Глава 19
Так как *' — целое число, (—I)1 =(—1) * , так что правая часть (19.16) равна (—, и тем самым соотношение (19.14) установлено.
В одночастичной задаче поведение волновой функции при отражениях определяется ее угловой зависимостью. Для однолуче-вика инверсия Р/ состоит лишь в замене ср на ср + тг и 6 на it—0; длина луча г остается без изменения. При этой подстановке (19.96) преобразуется к виду
P/^V, 6, ч>) = (— 1)“- в+|«‘(-Р±-) (те — 0)^ о"' (л) =
= е+1»(_1)/-ч^«(б^О^л)^-!)'^ (/\ 6. ?)•
(19.17)
