Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
ТАБЛИЦА 5
Представления группы ромбической пирамиды
Представ ? Вращение на Отражение Отражение
ление угол л вокруг в плоскости в плоскости
осн Z ZX ZY
I (1) (1) (1) (1)
II О) (-1) (-1) (1)
III 0) (-1) 0) (-1)
IV 0) (1) (-1) (-1)
одномерны, уровень с орбитальным квантовым числом L расщепляется на 2L -|- 1 уровней.
Коснемся вопроса о числе уровней со свойствами представлений I, II, III и IV, возникающих в кристалле из одного уровня с азимутальным квантовым числом L и четностью w. Ответ на этот вопрос может быть дан в общей теории, т. е. путем определения, сколько раз представления I, II, III и IV входят в представление <2>(?’“0 ГруППЫ вращений и отражений, если рассматривать его как представление ее ромбически-гемиэдрической подгруппы. Эти числа alt au, аш и aiv проще всего находятся путем определения характеров представления Ф^'^для операций из Vd.. Для единичного элемента
2L + 1 = <*i + <*ц 4~ am 4~ <*iv (18.12а)
С другой стороны, цля вращения на угол ic вокруг оси Z и для отражений в плоскостях ZX или ZY, согласно (18.9), имеем
(—l)? = ai — au — ajii+aiv» (18.126)
Правила отбора и расщепление спектральных линий
249
w(—1)? — а] — аи +aiii — aiv — ai +аи — аш — aiv- (18.12в)
Из (18.12в) следует, что ац = ащ и w(—l)?='ai—ajy; из(18.12а) и (18.126) вытекает, что (2Z. —1) —|— (—1)? = 2a] -|- 2aIv. Таким образом, мы получаем значения параметров а, которые приведены в табл. 6.
таблица 6
Кратность представлений группы ромбической пирамиды в различных представлениях группы вращений
Уровни “I “II» “in “IV
S+ 1 0 0
s_ 0 0 1
• Р+ 0 1 1
р_ 1 1 0
D+ 2 1 1
И т. д.
В упомянутой выше работе Бете определил расщепление почти для всех из тридцати двух типов симметрии, встречающихся в кристаллах, и получил отсюда ряд дальнейших следствий. Так, правила отбора для уровней типов I, II, III и IV получаются весьма просто, если заметить, например, что для излучения, поляризованного вдоль оси Z, умножение на (z1-{-z2-\- ... -\-zn) является операцией, симметричной относительно ромбической геми-эдрической группы. Это означает, что разрешены переходы только между уровнями одного и того же представления.
Глава 19
ЧАСТИЧНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ИЗ ИХ ТРАНСФОРМАЦИОННЫХ СВОЙСТВ
1. Трансформационные свойства собственных функций, которые обсуждались в предыдущей главе, следуют из соотношений между значениями собственных функций для аргументов, которые могут быть преобразованы друг в друга преобразованиями группы. Если, например, группа состоит из тождественного преобразования и преобразования х' = — х, то для функций, принадлежащих тождественному представлению (четные функции)
g(— x) = g(x), (19.1)
тогда как для функций, которые принадлежат отрицательному
представлению (нечетные функции)
/(-х) = /(х). (19.1а)
В общем случае из соотношения
Р*ф.(*1. *2......*n) = 2j?>(tf)xx'M-*;l. *2....хп)> (19-2)
А
в силу (11.26а) следует, что
tK х2.........<)=2^№Фх(хг Х2.................О- (19-3)
где х'......х'п получается из хг .... хп путем преобразования R.
Если вся область изменения аргументов волновой функции (т. е. все конфигурационное пространство) подразделяется на части, каждая из которых получается из одной части—основной области — некоторым преобразованием группы, то функции могут быть рассчитаны всюду с помощью (19.3), коль скоро они известны в основной области. Соотношение (19.3) представляет приведение области
изменения аргументов X!.......хп, причем степень приводимости
зависит от обширности группы, по отношению к которой задача на собственные значения инвариантна; она дает также трансформационные свойства функций ф, в явном виде. Поэтому все резуль-
Частичное определение собственных функций
251
таты, которые следуют из свойств инвариантности функций <]>х,
могут быть выведены из (19.3).
Рассмотрим, например, скалярное произведение четной и нечетной функций:
ОО
jg{xyf{x)dx. (19.4)
— ОО
Разбивая область интегрирования на две части, от — оо до 0 и от 0 до оо (эти области преобразуются одна в другую при преобразовании х'= —х), получаем
оо 0 оо
/ g (*)* f(x)dx= J g (x)* / (x) dx + J g (x)* / (x) dx.
—oo —oo 0
Если теперь ввести в первом интеграле переменную у вместо — х и для g(—у) и /(—у) воспользоваться соотношениями (19.1) и (19.1а), то интеграл (19.4) примет вид
