Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Остается еще вопрос о значениях магнитного квантового числа |х, которые будут иметь уровни, возникающие из Eslw ¦ Пусть R — вращение на угол ср вокруг оси Z. Тогда, согласно (15.6), матрица представления 2)(i)(/?) имеет вид
е~11*
О
О
-HL-1)9
О
о
о
(18.Е.2)
О 0 ... e'(?-i)<p
.0 0 ... 0 eiL®
и если является собственной функцией уровня Eslw, принадлежащей х-й строке представления А^1 и |х-й строке представления 2)(i),
~ С18.4)
т. е. принадлежит представлению (ехр (-(- 1^)) группы вращений вокруг оси Z. Кроме того, этот результат остается в силе
242
Глава 18
при увеличении поля; а так как ;х принимает значения от—L до -\-L в представлении уровень с орбитальным квантовым
числом L расщепится на 2Z, —)— 1 уровней E$lw, ц с магнитными квантовыми числами ц = — L, — L-\-\, L — 1, L. В первом приближении собственными функциями, принадлежащими E$lw, ц. являются сами ф , так как они должны принадлежать одной строке
представления А(5) и представлению (ехр (-)- /цср)), и никакая другая линейная комбинация функций ф не обладает этим свойством. Снова „правильные линейные комбинации" первого приближения определяются из теоретико-групповых соображений.
Простота, с которой в этом случае были определены „правильные линейные комбинации", является следствием того, что в матрицы,
соответствующие вращению вокруг оси Z, как представление группы вращений вокруг Z, уже находятся в приведенном виде (18.Е.2). Если бы мы наложили магнитное поле, скажем, в направлении оси Y, нам бы пришлось приводить матрицы d(i)(?), соответствующие Вращениям вокруг оси К, т. е. преобразовывать их к виду (18.Е.2). Тогда матрица ( У , ), осуществляющая это приведение, даст также правильные линейные комбинации для этого случая
4V = 2 Ти.'|Ац-ij-
Первое приближение для собственных значений Eslw,v- можно получить, исходя из собственных функций первого приближения, если мы знаем изменение оператора Гамильтона нашей системы, вызванное наложением магнитного поля 3?г. В классической теории при рассмотрении магнитного поля к функции Гамильтона без поля добавляется член
у (Л, v) = ~-(АхРх-\- Ауру-{- Агрг)
(высшими степенями напряженности поля пренебрегается). Здесь д — векторный потенциал, ротор которого дает напряженность поля. В квантовой механике мы подставляем —ihdldxi вместо рх получая таким образом в том же приближении дополнительное взаимодействие, связанное с магнитным полем,
У = + Ту+А*ш)' <18'5)
или сумму нескольких подобных членов для всех электронов!).
*) В более точном приближении к (18.5) следует добавить дополнительный член (Л\ -f- Ау + Aty 2^2 • этот член Ответствен, в частности, за диамагнетизм.
Правила отбора и расщепление спектральных линий
243
Для постоянного магнитного поля с напряженностью &вг вдоль оси Z
Ах = -\тгу, = Аг = 0.
Первое приближение для добавочной магнитной энергии может быть тогда вычислено по формуле (5.22):
Eslw, v.-Eslw = (^, VV) = ^f(V, LA,X (18-6)
где
¦ -t/ 9 I I д д d \
z 1 \Xl dyt Xn dyn ^ dxt ' ' ' dxj '
(18.6a)
Скалярное произведение в правой части (18.6) можно вычислить точно. Покажем, что для любой функции /
W = -“?(P «/)Ц. 08.7)
причем это выражение равно разности между значениями / в „повернутом состоянии" и в первоначальном состоянии, деленной на угол вращения. Поскольку
(coscp — sin ср О
мы имеем
Р{,оо }/(••• •*№**•••) =
= /(-----cos ср yk sin ср, sin cp-fyft coscp, zk, . . .);
дифференцирование этого выражения по ср дает при <р = 0
y.ag-V <18Л>
h
что эквивалентно соотношению (18.7). Используя (18.4), эту производную можно выразить через (л:
-1Ь Щ (Р{?оо>Ф^) = — ^ (e'W'M. (18.76)
В силу нормировки (фг|1, <]> )=1; поэтому (18.6) принимает вид
Eslw. t-ESLw = ~^f- (ц = -?, -L+ 1. .... L — 1, L).
(18.8)
244
Глава 18
Согласно (18.8), уровень с орбитальным квантовым числом L расщепляется в этом первом приближении (т. е. при ограничении членами, пропорциональными первой степени напряженности г на 2L-\-\ равноотстоящих уровней. Конечно, средний из них ([1 = 0) имеет ту же энергию, что и исходный уровень; расстояния между уровнями при заданной напряженности поля одинаковы для всякого уровня, расщепленного таким путем, так как в (18.8) входят только универсальные постоянные.
