Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение Шредингера для жесткого ротатора имеет вид
где 3—момент инерции, а 6 и ср—соответственно полярный и азимутальный углы ротатора. Основной областью в этом случае является единственная точка 6 = 0, „нормальное положение" ротатора. Обозначим значения собственных функций в этой точке
Но не должны зависеть от ”|f, так как ротатор имеет одно и то же положение при всех значениях этой переменной. Таким
й2 1 д
п “За- Sin 6
1 ау<8» ?>'
= ENl$L (0, ср),
2Q sin 0 <?0
sin2 0 dcp2
(19.8)
через G\L\ тогда, согласно (15.8) и (19.6), будем иметь2)
<р)=2(-1Г*®а)({<*, p. (19.8а)
•) A. U n s 0 1 d, Ann. d. Phvs., 82, 355 (1927). s) См. примечание на стр. 252 и Приложение А.
254
Глава 19
образом, G\L — 0 при \Ф О, так что (19.8а) принимает вид1)
фГ (6, ср) = (-if (6)^ оГ = (-if ©(i> ({ср, 6,0)1^0^.
(19.86)
Это равенство полностью выражает собственные функции через коэффициенты представления. Соотношение (19.86) показывает также, что собственные функции для одних и тех же L и |а и разных N различаются, самое большее, на постоянный множитель. Так как это невозможно для собственных функций различных собственных значений, каждому L принадлежит только одно собственное значение. Поэтому в (19.8), (19.8а) и (19.86) индекс N можно опустить.
Решения уравнения (19.8) известны как сферические гармоники L-й степени; (19.86) показывает, что функции ©^({ср, 6, f})m0 совпадают со сферическими гармониками Ylm(6, ср), за исключением нормировки и множителя (—1)т.
Не следует слишком удивляться тому, что уравнение (19.8) можно полностью решить без вычислений. В самом деле, один из способов определения представлений (гл. 15, п. 1) был основан на решении уравнения Лапласа, которое эквивалентно уравнению
(19.8). Можно сказать, что теперь мы снова подставили это решение в (19.8).
Чтобы показать, что уравнение (19.8) относится ко всем сферически симметричным задачам, упомянем случай атома водорода, который описывается уравнением
Соотношение (19.6) показывает, что его решения имеют вид
?>w({«. P. -r)V (19-9а)
Здесь Of—функции только г, так как . л-лучевик вырождается в однолучевик, геометрическая форма которого полностью определяется длиной г луча (расстояния электрона от ядра). В этом случае х и р представляют собой азимут и полярный угол электрона, тогда как f не имеет какого-либо смысла; по этой причине выражение (19.9а) не должно зависеть от f. Отсюда следует, что точно так же, как в случае соотношения (19.86), G\l должны обращаться в нуль при X Ф 0:
$1(г, 6, ср) = (—If ©№({ср, 6, 0})^ Ool(r)~Yfy(P, cp)GoV).
(19.96)
*) См. примечание 2 на стр. 252 и Приложение А.
Частичное определение собственных функций
255
Согласно формулам (17.3), собственные функции атома водорода действительно имеют такой вид. Мы видим, что ф^ действительно
принадлежит ^-й строке представления как это и должно быть для собственной функции с магнитным квантовым числом jj. и орбитальным квантовым числом I.
Простейшей задачей, на которой можно показать все возможности этого метода, является квантовомеханическое описание движения твердого тела (волчка). Рассмотрим сначала асимметричный волчок. Положение волчка можно характеризовать тремя углами Эйлера а, (3, указывающими вращение, переводящее волчок из его нормального положения (в котором наибольший момент инерции совпадает с осью Z, следующий после него — с осью У, а наименьший — с осью X) в рассматриваемое. Волновая функция будет зависеть только от этих трех углов; действительно, согласно (19.6), она имеет вид
Ф?Ч Р. 7) = 2(-1Г*®(,)({а. p. -r}VX' =
= ]S(—1 f~V,",d(i)(P)iU e^Gx1. (19.10)
Значения G^1 снова являются постоянными, так как геометрическая форма твердого тела фиксирована. Так же как и собственные значения Eni, они могут быть определены путем подстановки выражения (19.10) для ф^7 в уравнение Шредингера. При этом
получаем 21 -(- 1 линейных однородных уравнений для G^{......G+*-
Требование, чтобы определитель этой системы уравнений обращался в нуль, дает алгебраическое уравнение (2/-(-1)-й степени для энергии eni, так что 2/ —(— 1 собственных значений имеют орбитальное квантовое число I.
Рассмотрим теперь волчок, у которого равны два меньших момента инерции. Тогда „нормальное положение" волчка определяется не однозначно, а с точностью до вращения вокруг оси Z. Следствием этого является то, что собственная функция остается собственной функцией, если f заменить на f+fo1 Более того, линейная комбинация
2я
/ фГО. р. 7 +То)е_Ьг“^То =
о
= S(-1)|l'"G^e+,>V<')^Ue+,"r / в,То(Х_,)^Т0 =
х
= (const) • (— l)1J-',Gf©'')({a, р, (19.11)
