Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
ОО ОО
- / g(yr/(y)dy + / g(xTf(x)dx= 0 (19.6)
о о
и две его части взаимно уничтожатся.
Рассуждение о том, что / и g принадлежат различным неприводимым представлениям и что поэтому их скалярное произведение должно обращаться в нуль, проще, чем только что проведенный расчет. С другой стороны, вывод, основанный на (19.3), имеет то преимущество, что, наряду с большей наглядностью, он приводит к частичному определению собственных функций, весьма эффективному в случае тех простых задач, которые инвариантны относительно группы вращений.
2. Соотношение (19.3) выражает волновую функцию фх для всех положений, возникающих из положения Р = (хlt ylt zx, х2, у2, z2, .... х„, уц, z„) при преобразованиях группы, через значения функций-партнеров функции фх в точке Р. Для группы вращений такими положениями являются все точки конфигурационного пространства, для которых относительное расположение частиц, т. е. геометрическая форма атома, одинаково. Точку в конфигурационном пространстве можно заменить я-лучевой звездой '), помещенной в центре трехмерного пространства. Конец каждого луча в трехмерном пространстве показывает, где находится соответствующий электрон в рассматриваемой конфигурации. Задание волновой функции во всех точках конфигурационного пространства равносильно заданию ее для всех мыслимых я-лучевиков.
‘) Или, кратко, п-лучевиком. — Прим перев
252
Глава 19
Как уже указывалось при обсуждении „отделения центра масс" на стр. 212, волновая функция будет содержать в качестве переменных также координаты ядра. Поэтому она будет определена не для тех положений, в которых я-лучевик помещен в центре трехмерного пространства; напротив, центр я-лучевика указывает положение ядра и может находиться в любой точке пространства. Однако, поскольку значения волновой функции будут одинаковыми для всех положений я-лучевика, получающихся одно из другого путем параллельного переноса, достаточно указать его для всех я-лучевиков, помещенных в центре. Волновая функция не изменится, если все координаты х (включая координаты ядра), или все координаты у, или все координаты г увеличить или уменьшить на одну и ту же величину.
Положения, получающиеся одно из другого путем вращения, соответствуют одной и той же форме, но различным ориен~ тациям /г-лучевика. В качестве основной области мы выберем те положения, для которых первый луч (соответствующий первому электрону) лежит на оси Z, а второй—в плоскости ZX. Эта область соответствует таким точкам конфигурационного пространства, для которых jfj = yj=y2 = 0. Пусть значения 2/. —1 волновых функций ф_?, ф_?+1............принадлежащих представле-
нию ({аРт})> в основной области равны 0_?, 0_?+ь .... GL~ь Gl [т. е. 0х = фх(0, 0, гх, лг2, О, г2......хп, уп, гп), причем зна-
чения Gx зависят только от геометрической формы конфигурации частиц]. Тогда значение волновой функции в каждом положении
х[, у', г[......х'п, у'п, г'п, получающемся из 0, 0, zv х2, 0, z2, ...
..., хп, уп, гп путем вращения {те — а, р, —те — ^}, согласно (19.3), будет равно :)
%(x'v y'v <........<• У'п’ <) =
= х2?®<г)({*-а. р. -«-т}^ох(вг) =
= xS?(-l)tl""®(?)({a. P. -rlV^te). (19.6)
В этом выражении 2) а и р являются по определению соответственно азимутальным и полярным углами первого электрона; ? — угол
*) Соотношение
({it - а, + р, _ « - 7»^ = (-lfA Ю» ({а, р. тг»^ следует непосредственно из (15.8),
®(0 ({“.P. (Р)^в'Ч
и того, что dW (р)^ вещественно.
2) Вращение выбрано так, что в качестве а и р можно взять полярный и азимутальный углы первого электрона, а ие соответствующие величины с обратным знаком. См. обсуждение в Приложении А (п. 2) в конце книги.
Частичное определение собственных функций
253
между плоскостью, проходящей через ось Z и направление на первый электрон, и плоскостью, проходящей через начало координат и первые два электрона. Значения Gx зависят только от геометрической формы g /г-лучевика.
При L = 0 (5-уровни) (19.6) принимает вид
В этом случае волновая функция зависит только от формы /г-лучевика и вовсе не зависит от его ориентации в пространстве; 5-состояния сферически симметричны :). Это вполне естественно, так как 5-состоянию принадлежит только одна собственная функция и она не может выделить направления. Для более высоких азимутальных квантовых чисел все направления равноправны по отношению к полной системе собственных функций, но нельзя выделить ни одной собственной функции, не выделяя тем самым некоторого направления, так что отдельные собственные функции уже не являются сферически симметричными.
Из (19.6) можно вывести правила отбора. Однако мы будем интересоваться главным образом тем, в какой мере из этого соотношения можно определить собственные функции.
3. Для твердого тела геометрическая форма g фиксирована, так что все Gx — просто постоянные. В этом случае собственные функции зависят только от а, {3 и ^ и полностью определяются соотношением (19.6). Простейшим твердым телом является тонкий стержень, который может свободно вращаться вокруг своей средней точки (жесткий ротатор).
