Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Матрица и может быть диагональной матрицей только для вращений с {3 = 0 (которые оставляют неизменной ось Z); для таких вращений она должна быть диагональной. Действительно, если спин в первой системе координат имеет направление —Z, так что Ф(л:, у, z, 1) = 0, то это должно сохраниться и во второй системе координат. Но если это так, из (20.11) следует, что uI>_I = 0; аналогичным образом u_ I> j = 0; значит и({а00})
2 u (SR)sl Ф (х, у, z, t) = cs,R 2 2 и’(5)*,и(Я)„Ф(*. У> г> 0.
Г= ±1 /= ± I
/=±1
u (SR) = cs, r 1 • и (5) и (/?).
(20.17)
u (SR)= ±u(S) u (Я).
(20.17a)
u( (ар-с)) = 25(Vj) {(ар-f})
быть получена из с помощью преобразования подобия. Первая
есть диагональная матрица. Поскольку и эквивалентна ?>'/г( {а00}), она может быть равна либо
либо
(20.Е.2)
Спин электрона
271
Но из второго выражения следует, что в состоянии момент
количества движения должен иметь направление -\-Z, а в состоянии <]>8SiI — направление —Z. Мы исключаем этот выбор, так как в этом случае волновая функция Ф(л:, у, z, —s) была бы приписана состоянию, которое мы описываем функцией Ф(л:, у, z, s).
Таким образом, и( {аОО} )= {аОО}) и унитарная матрица S,
преобразующая в и, должна коммутировать с {аОО});
следовательно, она должна быть диагональной матрицей. Пусть ее два диагональных элемента равны а и а’ (|а| = |а'|= 1). Тогда можно изменить обозначения и приписать волновую функцию S®(x, у, z, s) состоянию, волновая функция которого ранее равнялась Ф(л:, у, z, s), где
S®(x, у, г, —1) = оФ(л:, у, z, —1),
ЭФ (л:, у, г, 1) — а'Ф(х, у, г, 1).
Это допустимо, так как до сих пор мы не придавали никакого значения комплексной фазе отношения Ф(х, у, z, —1 )/Ф (jc, у, z, 1). В описании, возникающем таким путем из первоначального и вполне эквивалентном ему, мы в каждом случае имеем
и( {а, р, 7} ) = 2>('/г)({«. Р. 7) )• (20.18а)
и мы находим, что всякое описание спина, основанное на положениях, обсуждавшихся в п. п. 1, 2 и 3, физически вполне эквивалентно описанию, в котором волновая функция состояния Ф, повернутого на R, равна1) О^Ф- Здесь Or—PrQr является оператором, определенным соотношением
ОдФ(*. У, г, s) = (R)l/iS (х, у, г, t) =
= Дt ®('А) ,/г,Ф (х", /, zT, t), (20.19)
где х", у", г" получаются из х, у, z путем вращения R~x. Матрицы имеют индексы l/2s, l/2t, так как строки и столбцы ф(1/г) обозначены индексами —1/2 и -Р/г вместо индексов —1 и -(-1 в случае матрицы и.
Пусть, например,
Ф (х, у, г, s) = (х + iy) ехр (— г/2г0) при s = ± 1 (20.Е.З)
Функция (х + iy) ехр (—г/2г0) является, если отвлечься от нормировки, собственной функцией атома водорода с N = 2, / = 1иц = + 1 [см.(17.3)1
¦) Здесь R всегда является чистым вращением.
272
Глава 20
Рассмотрим состояние (20.Е.З) в системе координат, ось Y которой совпадает со старой осью К, а ось Z является старой осью X. Тогда вращение R имеет вид {0, л/2, 0} и
х' =и — г, у' — у, г' = х, а обратным преобразованием является
Волновая функция состояния (20.Е.З) в новой системе координат, согласно (20.19), имеет вид
В новой системе координат спин с достоверностью направлен по оси + Z; следовательно, в старой системе спин был с достоверностью направлен по оси + X.
8. Получим теперь определенные физические следствия из формуя преобразования (20.19). С помощью (20.19) можно ответить на следующий важный вопрос: каковы вероятности того, что измерение проекции спина на ось Z’ приведет к результатам +Л/2 и —h/2, если известно, что Z-компонента имеет значение -\-h/2? Иными словами, каково соотношение между вероятностями проекций спина на два направления Z’ и Z, составляющие угол {3? Если спин ориентирован в направлении Z, то волновая функция имеет вид Ф(л:, у, z, «) = 8л(р(л:, у, г). Если рассматривать это состояние с точки зрения системы координат, повернутой на {0, {3, 0), то в силу соотношения
Р{оро}®z’ s^ ^siPfopo}'?У' z)
[так как Ф(л:, у, г, —1) = 0], используя 2)(1/г)({0, {3, 0})s/ из (15.16),
— dn-jPP{opo>®(JC, у, г, 1) = —sln-^pP{opo}(p(x, у, г), (20.20)
х" = г, у" = у, г" = —х. Матрица ?>^({0, л/2, 0}) равна
y=(z + iy)e r/2r° — ^=(z + iy)e ГР'° при s = —1, y=(* + ty) e~r,2r° +^L(z + iy) е~'Рт° при s = + l, = 5il/2(* + /y)
имеем
О{0Р0}ф(^ У> Z> —0= С08-5-рР(оро)Ф(ДС, у, 2, —1) —
О{оро>ф(л:- 0 = sin YРР{оро}ф (л:’ У’ г> —*) +
+ cos^pp{o?o}®(x, у, г, l) = cos^-pPlopo>(p(x, у, г).
Спин электрона
273
Теперь второй наблюдатель может вычислить вероятность данного значения проекции спина на ось Z', составляющей угол {3 с первоначальным направлением оси Z, непосредственно пользуясь волновой функцией О/0я0\Ф. Согласно (20.20), вероятность найти
