Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
ОА.-1ЧК*. У> z) = xxs, - \PrV(x, у, z), то из линейности оператора О* следует, что
ОЛ, -1 Ор + Ф) = и*, -iPfl (? + '№ = us. -iP^?T + ui, -iP/гФ —
= 0$s, -1? + ОА, -1Ф =f= us. -iPtfP + us, -iP/гФ-В силу линейной независимости Рд(р и Р#ф отсюда следует, что
U4. -1 == Ui, -1 = Ui> —1*
268
Глава 20 >
Аналогичным образом,
Таким образом, величины одинаковы для всех волновых функций, а матрица u = u(/?) может зависеть только от вращения R. Если Ф(л:, у, z, s) является произвольной волновой функцией
Ф (*. У, z, s) = bSt_lS>(x, у, г, —1) + 8^ ,Ф(л:, у, z, 1), (20.10)
то из линейности оператора Од и соотношений (20.9) снова следует, что
ОдФ(х, у, Z, 5) = ОА,.1Ф(л, у, Z, — 1)+ОА,,Ф(д:, у, z, 1) =
У- — О + и^РдФС*, у. г, 1), (20.11)
Ол>Ф (х, у, Z, s)= 2 Ч^/Р^Ф (х> У> z, t).
/=±1
Таким образом, оператор Од может быть разбит на два множителя:
Од= QflP;?- (20.12)
Оператор Рд является обычным оператором преобразования, определенным равенством (20.7), и действует только на пространственные координаты волновой функции; оператор Од определяется равенством
CVS (*. У, z, s)= 2 и(/?)^Ф(л:, у, z, t) (20.12а) /=±1
и действует только на спиновую координату s. Поскольку область изменения s состоит только из двух точек -)-1 и —1, (20.12а) показывает, что оператор а* эквивалентен двухрядной матрице:
“(R)=W>,-, «да,,, )¦ <20лз)
Операторы Р и Q коммутируют; поэтому для двух произвольных вращений R и S имеем
P5Q* = Q*Ps (20.14)
и, в частности,
РдСи? = ОдР;?.
Возможность разбить оператор Од на два множителя Рд и Од опирается главным образом на предположение о том, что существуют „бесспиновые" опыты, которые могут быть описаны волно-ой функцией, зависящей только от л:, у и г. Это предположение
Спин электрона
269
отбрасывается в релятивистской теории Дирака, и в последней теории о* не может быть разбит на два множителя, удовлетворяющих (20.14), если R представляет переход к движущейся системе координат.
Связь с теорией представлений
7. Из унитарности операторов Од и Рд (и, следовательно, также Р*‘) следует, что оператор Од=ОдР;?1 должен быть унитарным. Поэтому для любых функций Ф и ?
(О*®. 0*40 = (Ф. W). (20.15)
Отсюда следует, что матрица и(/?) должна быть унитарной. Если положить Ф = 8^ф и 4r = 8iTi|>, то, согласно (20.3) (если ф нормирована), (Ф, Чг)=8!П. Поэтому в соответствии с (20.15) и (20.12а) имеем
Кг = (ОдМ». Q/?M0 = (M». М0 =
+оо
= 2 / / / и>ет.
Л=±1 -оо S=±I
Но это равенство и является в точности условием унитарности матрицы и.
Кроме того, поскольку Од определяется физическими требованиями и соотношениями (20.8а) лишь с точностью до постоянного множителя с абсолютной величиной 1, зависящего от R, можно
заменить о* на СдОр, не меняя физического содержания теории
и не видоизменяя соотношений (20.8а) (где |сд|= 1). Множитель с% может быть включен в оператор Од, т. е. в и(/?); тем самым можно обеспечить, чтобы определитель матрицы и(/?) был равен 4-1.
Наконец, чтобы полностью определить матрицу и(/?), учтем, что О^Ф есть волновая функция состояния Ф, повернутого на R, а ОЮдФ—волновая функция этого состояния, повернутого сначала на R, а затем на 5, или в целом — на SR. Таким образом, оператор OsOr физически полностью эквивалентен оператору Оsr-Так как он тоже удовлетворяет соотношениям (20.8а) — произведение двух линейных унитарных операторов снова линейно и унитарно, — то он может отличаться от О sr лишь постоянным множителем:
OsR = Cs,rOsOr- (20.16)
270
Глава 20
Далее, в силу Ps^ = Р$Рд и соотношения (20.14), из (20.12) следует, что
Qs;?Ps;? = cs,rQ.sPsQrPr> Qsa= cs.flQsQ;?
или, с учетом (20.12а),
Так как определители всех матриц и мы нормировали к 1, из (20.17) следует также, что |с$, д • 11 = 1 и Cs,r = ±1. Таким образом, с точностью до знака, матрицы и(/?) образуют представление трехмерной группы вращений:
Это наводит на мысль, что либо и (/?) совпадает с матрицами, которые обсуждались в гл. 15,
либо по крайней мере получаются из них с помощью преобразования подобия. Это действительно так, и в следующей главе мы покажем, что всякая система двумерных матриц, удовлетворяющих (20.17а), либо состоит из единичных матриц, либо может
из этих возможностей исключается, так как это означало бы, например, что состояние, в котором спин с достоверностью был направлен по оси Z, обладало бы этим свойством после произвольного вращения.
