Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
ОО
(Ф, G) — ^ J J J Ф (х, у, z, s)* G (х, у, z, s) dx dy dz =
s*±l —OO
oo
= / / /[$(*, У. — 1)*G(JC, у, г, —1)4-
— OO
4-Ф(х, у, z, 1 )*G(x, у, z, 1 )]dxdydz. (20.3)
3. Величины, зависящие только от пространственных координат, остаются важным специальным классом физических величин. Эти величины — как координата X или скорость — имеют также смысл в теории, вовсе не рассматривающей спина. Опыты, в которых измеряются эти величины, мы будем называть „бесспиновыми“. Сами эти величины соответствуют в теории Паули операторам, действующим только на декартовы координаты х, у, z, так что спиновая координата может рассматриваться как параметр.
Уточним понятие оператора, действующего только на некоторые из координат. Всякий оператор X, который может быть применен к функции / (?) одной переменной ? (как, например, дифференцирование по ?), может быть применен также к функции двух переменных, так как любая функция F (?, о) двух переменных может рассматриваться как семейство функций лишь одной переменной 5; для каждого конкретного значения о функция F (?, о) является функцией только ?!). Если оператор X применяется ко всем этим функциям от ?, то для каждого значения о получается другое семейство функций от $. Это семейство образует тогда
‘) Под 5 мы подразумеваем здесь тройку координат х, у, г, а под а — спиновую координату s.
264
Глава 20
функцию XF ($, о). Утверждение о том, что X действует только на 5, означает таким образом, что значение функции XF в точке ?, о зависит только от значений функции F (?', а') при а' = о.
Пусть У, z, s) — собственная функция оператора Н,
действующего только на х, у и г. Если \к является соответствующим собственным значением, то функция от х, у, z, s
НФЛ (*, у, г, 5) - (jc, у, z, s) = 0 (20.4)
должна обращаться в нуль; иначе говоря, должны обращаться в нуль обе функции этого семейства (s = -(-l и s = —1):
Н'М*. у, z, — l) — \kWk(x, у, z, —1) = 0, тк(х, у, z, +1)-ХЛЧГЛ(дс. у, г, +1) = 0.
Если при данном \к уравнение
Щк(х, у, z) = \ktyk(x, у, г)
имеет только одно решение, то как (jc, у, z, +1), так и ФЛ(х, у, z, —1) должны быть кратными у, г)1):
?*(*, у, г, —1) = (л:, у, z), ?*(*, у, г, 1) = м,фЛ(х, у, г),
(20.5)
W* (jc, у, z, s) = и$к (х, у, z).
Независимо от того, как выбраны м_, и и,, «^(jc, у, z) остается собственной функцией оператора Н, принадлежащей собственному значению ~кк. Это показывает, что введение спиновой координаты s превратило собственное значение \к в двукратно вырожденное собственное значение, которому принадлежат две линейно независимые и взаимно ортогональные собственные функции
4V = bSi (jc, у, г), (20.5а)
ЧГк+ = КА(х- У> *)¦ (20.56)
Скалярное произведение ЧГ4_ и ЧГ4 + действительно обращается в нуль, так как один из множителей в каждом члене подынтегральной функции (20.3) равен нулю.
Собственные функции
8л-1Фз. •••
¦) Сначала могло бы показаться несколько странным, что s выступает в качестве переменной в левой части этого равенства и в качестве индекса — в правой; но это лишний раз подчеркивает то обстоятельство, что всякая функция х, у, г и s может рассматриваться как соответствие между функцией от х, у и г и каждым значением s.
Спин электрона
265
соответствуют возможным результатам двух измерений, выполняемых одновременно: а) измерения величины, отвечающей оператору Н и б) измерения Z-компоненты спина. Для значение первой величины с достоверностью равно а спин с достоверностью имеет направление — Z, тогда как для ЧГЛ+ первая величина по-прежнему с достоверностью равна но спин имеет направление + Z, т. е. вероятность обнаружить его в направлении —Z равна нулю. В общем случае, если волновая функция равна
Ф = Я1’5Г1_ + Л2Ч?2_ +03ЧГ3_ + ... +^4^,+ -3тЬ$12 + ~3Г ^3^3+ ••••
(20.6)
вероятность того, что Н имеет значение и что спин одновременно имеет направление — Z, равна | ak |2, а вероятность значения для Н и направления спина -\-Z равна |ЛЛ|2.
Инвариантность описания относительно пространственных
вращений
4. При описании электрона волновой функцией, зависящей от s, оси Z отдается предпочтение перед всеми направлениями, даже перед двумя другими осями координат. Поэтому совершенно необходимо исследовать здесь вопрос о том, как изотропность пространства сохраняется при этом описании, т. е. какую волновую функцию ОдФ припишет состоянию Ф второй наблюдатель, если он описывает физическую систему и все величины точно таким же образом, как и первый, за исключением того, что он пользуется системой координат, повернутой относительно системы координат первого наблюдателя. Пусть относительное расположение двух систем координат таково, что координаты точки х, у, z во второй системе равны
