Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вигнер Е. -> "Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров" -> 102

Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.

Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров — Москва, 1961. — 444 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagruppieeprilogeniekdrugim1961.pdf
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 176 >> Следующая


Уровни с четными I четны-, уровни с нечетными I нечетны !).

Для двух независимых частиц, как, например, в атоме гелия, согласно (19.6), имеем

t? = 2(-ir*S>№({«> Р. Т) VG,(r„ г2, г), (19.18)

поскольку эта конфигурация определяется геометрией двухлуче-вика, который можно характеризовать длинами ги г2 двух лучей

Z

Фиг. 11. Поведение двухлучевика при отражении."

и углом между ними е. При отражении меняется только положение двухлучевика, но не его геометрическая форма. Если произвести инверсию, то «, р и | переходят в a + ir, iz — (3 и iz — f (см. фиг. II)2).

') Таким образом, оптический переход с Д/ = 0 для одноэлектронной системы запрещен, поскольку npg этом переходе изменяется четность.

2) На фиг. 11 ради простоты принято г, = r2 = 1. Точки ?, и Е2 являются положениями двух электронов до инверсии, а ?, и ?2 — их 110Л0* жениями после инверсии.
Частичное определение собственных функций 259

Поэтому

Р/ф? = 2(—lfX®(?)({a±*. * —Р. «—Г}VOx =

= 2(_lf-^W({a> р, T})llt_x(_l)i+xOXl (19.18а)

так как, в силу (19.14),

5D'Z> ({а ± тс, тс - р, тс —f} )(iX = «* <"*«> (-1 )L-* da) (Р)^,., elx <-*> -

= (-1)?+хф(?)({а, р, Т} V,_x. (19.14а)

*

Таким образом, для четных уровней из Р/ф(1 = следует

G_x (л„ л2< в) = (-l)i+x Gx (л„ г2, в). (19.19)

тогда как для нечетных уровней1), для которых Р/ф(1 = —

0_х(/"!. г2. е) = —(—1 )i+*Gx(/-,, г2, е). (19.19а)

Функция G0 отлична от нуля только при w = (—1)Л(5+, Р_, D+ и т. д.). Следовательно, атом Не не имеет уровня 5_: волновые функции 5-уровней имеют одинаковые значения при всех положениях двухлучевика, так что 5-уровни необходимым образом

имеют положительную четность.

Подставляя (19.6) в уравнение Шредингера и приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях от а, р и f, получаем в общем случае 2L -)-1 уравнений для 2L -)-1 функций

G_i, G-i+\.................Gi_b Gi от переменных, описывающих форму

л-лучевика. Пользуясь соотношениями (19.19) и (19.19а), для атома Не можно значительно сократить число независимых функций, оставляя лишь одну неизвестную функцию для уровней 5+ и Р+, две — для уровней Р_ и ?)_, три — для уровней D+ и F+ и т. д.2).

Для нескольких электронов невозможно заменить инверсию л-лучевика чистым вращением. Инверсия преобразует л-лучевик в его „оптический изомер" (или зеркальное изображение). Он имеет форму, отличную от формы исходного л-лучевика только

*) В случае асимметричного волчка по-прежнему справедливы равенства G-\=G\ для / +1 собственных значений с орбитальным квантовым числом I и G_x = — Gx для остальных / собственных значений. Таким образом, секулярное уравнение (2/+1)-й степени разделяется на два уравнения степеней (/+1) и/. Поскольку, в силу (19.14а), волновые функции и для симметричного волчка [выражение (19.11а)] при инверсии преобразуются одна в другую, отсюда следует, что QHF принадлежат одному и тому же собственному значению.

2) См. О. Breit, Phys. Rev., 35, 369 (1930).
260

Глава 19

при л^-3. При п= 2 это явление не имеет места; геометрическая форма двухлучевика всегда совпадает с формой его изомера или зеркального изображения.

Если обозначить через g координаты, описывающие форму л-лучевика, изомерного g, то, согласно (19.6), фиг. 11 и (19.14а), имеем

Р/ф? = 2 (— l)|l">'®<i)({a±ic, тс — р, тс — f}) xGx(g) =

= 2(-l)|l-X©<i)({a, p. -r}V-x(-l)i+"G,(i).

С другой стороны,

Р/ф? = ‘юф|1 = ]2®(— l)|l~x©(i)( {a. p. “TDiaOxte).

где для четных уровней w = -\-\, а для нечетных w = —1. Тогда

(_1 Gx(g) = wG_x(g). (19.20)

Соотношение (19.20) не может быть использовано-для вычисления собственных функций в явном виде; однако оно показывает, какую информацию о виде собственных функций, сверх даваемой соотношением (19.6), можно получить из симметрии собственных функций относительно группы отражений. Однако рассмотрение этой группы позволяет надеяться получить не слишком много дополнительной информации. Инверсии позволяют сравнивать волновые функции только для двух точек конфигурационного пространства, тогда как группа вращений дает возможность установить связь между значениями этой функции для непрерывного трехпараметрического семейства точек. В соответствии с этим с помощью группы вращений можно было бы исключить три переменные, причем нужно допустить лишь увеличение числа неизвестных функций (G_i, ..., Gl). Это число, равное 2Z, —|— 1, по-видимому, может быть снова несколько уменьшено с помощью группы отражений, но упрощение получается сравнительно несущественным.

Естественно попытаться воспользоваться симметрией относительно перестановок электронов для дальнейшего уменьшения числа неизвестных функций. До некоторой степени это возможно. Однако рассуждения в этом случае не так просты, как в предшествующем рассмотрении, в котором первый и второй электроны играют роль, отличную от остальных (аир являются соответственно азимутом и полярным углом первого электрона). Это приводит к тому, что формулы, следующие из рассмотрения перестановок электронов, весьма сложны и не будут приведены здесь.
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed