Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Wi = CZi (і/; и'), (13.5.10)
va = v'a. (13.5.11)
В этой системе координат метрика имеет вид
і,, i\ ди1 duh , , . du1 , \ gja(u, V)=-—T — glk(u, v)+~—gla(u, V)
диЧ du'* * ' ' 1 gu>i
dUl(v'; u') ( dUh(v'- u')
glk(U, v')+gla(U, l/)} ,
du'l 1 dv'a
и, таким образом, уравнение (13.5.8) приводит к результату
?іа = 0. (13.5.12)
Следовательно, можно построить координаты и', в которых g[a равпяется нулю, если существуют решения дифференциального уравнения (13.5.8) с произвольными начальными условиями (13.5.9).
Перепишем (13.5.8) в эквивалентной форме:
дт — Fha (U, и), (13.5.13)
dv°-где
F\(U, v)gia(U, V), (13.5.14)
a g3— матрица, обратная gtj, т. е.
gi}gjk = ol (13.5.15)
(Черта должна напоминать, что «/-элемент матрицы gu, обратной к gu, не равен у-элемепту gг3 матрицы ^v, обратной к g^v.) Когда имеется только одна координата v (как в случае, рассмотренном в главе, посвященной космологии), очевидно, что уравнение (13.5.13) может быть решено при произвольных начальных условиях. В общем случае для того, чтобы доказать, что (13.5.13) интегрируемо, надо проделать некоторую работу. Применим тот же метод, что и в § 2 этой главы. Попытаемся решить уравнение (13.5.13) в окрестности V0 с помощью разложения 426
Гл. 13. Симметричные простр але тв CL
по степеням V — V0:
OO
Uh= Chai...an (V-Vof1 ..-(V-Vofn. (13.5.16)
п=0
Ясно, что начальные условия (13.5.9) удовлетворяются, если выбрать коэффициент при п = Ob виде
Ck = и0к,
и уравнение (13.5.13) удовлетворяется в нулевом порядке по V — V0, если выбрать
Cfta= -Fha (ий, V0).
Теперь, продолжая по индукции, предположим, что можно выбрать члены из (13.5.16), вплоть до членов порядка (v — vn)n, так что (13.5.13) удовлетворяется с точностью до (v — ^o)"-1-Тогда можно использовать эти члены для вычисления вклада порядка (v — v0)n в Fha(U, v). Запишем его в виде
[Fh а (U (v; U0), У]порядка п = ^ fabi - . .Ьп (v ~V0)bi ... (v — V0)1"1 .
В этом случае (13.5.16) будет удовлетворять (13.5.13) с точностью до членов порядка (v — v0)n, если представить вклад в U порядка п -г 1 как
[Uk (V, И0)1псрядка п+1= -f^i)\fobi. . .Ьп (v — V0)a (v — v0)bl . . . (v — v0)bn ,
с условием, что / симметрично но всем его индексам. Так как fabv.. ьп можно, очевидно, выбрать симметричным по индексам Ъ, достаточно потребовать, чтобы оно было также симметричным при перестановках а и любого Ъ или, эквивалентно, чтобы величина
\JLFha(U(v, щ), v)~\
L ovo ^порядка/i-і
была симметричной по а и Ъ. Но предполагается, что U удовлетворяет (13.5.13) в порядке (v — ^o)"-1' а потому предыдущее требование выполняется, если величина
Г дрьа(и, и) F, Л, , дР*а{и, V)
(И, „) + V) 1
v ' ' ' gvb J u=U{v,;
L du1 dvb Ju=U(t>, U0)
симметрична по а и Ъ. Итак, приходим к выводу, что (13.5.13) интегрируемо, если выполняется соотношение
(и, V) pl dF»a (и, V) =
Oul Ь\ , ) дф
= °Eh?±L°LFia{u, v])- dpk^ua' vI (13.5.17)
при всех U II V.
Для того чтобы доказать, что (13.5.17) действителыго справедливо, вспомним условие (13.5.6) для вектора Киллинга. Умно- § 5. Пространство с максимально симметричными подпространствами 427'
и;мя его на gl, получаем
Sl1__-ZudIma ZilZk Sgia
S*> ~ g dui8ma 8 ё du*
Умножая далее (13.5.5) на^1'-^™, имеем
-Hl dlm ! —im dl1 _ ?ft-ii-im dgu __ &
Im
диі диі ~ Suft
а нот ому
sft Sglm th-lm dgma
d»a диі gma ё ^ma 6 « 3Bk '
Привлекая (13.5.14), можно переписать это выражение так:
"--S--O- (13-5Д8)
Теперь продифференцируем его по Vb и найдем
diIl ^fl J^J 9I1 \ L dFia д& ag» SA PEla
L/JliV ti \ dt>b I
dvb dva dui \ dvb / gvb gui dvb guh dvb duh
а подставляя (13.5.18) в правую часть, получим S2I1 _ pi pi дЧ1 і vi SFib аф pi dFib_3k
- г аг b . . і -Г а - - ¦ г г а
dvb ov°- dui duі dui du1 duk dui
FJ дть ^ dFiq дії Fi dFin ,
dukdui ' dvb gui guh gui
9Fkb OFla g,; PFla ^_
du1 Quh gvb guh
Ho ;)то последнее выражение должно быть симметрично по а її 6; следовательно, справедливо
О --- ( Fja + ^it \ UІ- -U
1 ° dui dui dvb QVa J dui
b
du
SiFh , „i SiFln . dFh dPla
1- дUk duJ
duh диі дф диі duh диі
dFia dFh d2F'a , Wh
, , -Uft. (13.5.19)
duh dui gvb duh dva duk J Мы уже отмечали, что наше предположение о существовании M (Л + 1)/2 независимых векторов Киллинга позволяет в любой данной точке найти векторы Киллинга, для которых исчезают и EA; j- = gkid\lldu% является произвольной антисимметричной матрицей. В частности, можно в любой данной точке выбрать |г так, чтобы выполнялось условие
= о,
Sli
lft; і = Skl —r = Sftm6j„ — SftnSim.
dx1 428
Гл. 13. Симметричные простр але тв CL
Поэтому, умножая (13.4.19) на gM и полагая к = п Ф т, находим pj dFmb pj dF™a __ dFmb OFma
диі диі dv<* dvb
что и является искомым соотношением (13.5.17). Коэффициент при Z1 в (13.5.19) также должен равняться нулю, по здесь это не существенно.
Возвратимся теперь к главной линии нашего доказательства. Показав справедливость (13.5.17), мы теперь знаем, что (13.5.13) интегрируемо. Поэтому можно построить координаты и'г и и'а, определяемые (13.5.10) и (13.5.11), в которых компоненты метрики gia равны нулю. Выполнив это и опустив штрихи, запишем
