Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вейнберг С. -> "Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности" -> 149

Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.

Вейнберг С. Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности — М.: Мир, 1975. — 695 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyaikosmologiya1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 143 144 145 146 147 148 < 149 > 150 151 152 153 154 155 .. 254 >> Следующая


Sia = 0- (13.5.20)

Условия для векторов Киллинга (13.5.6) и (13.5.7) теперь выглядят так:

0 = ^gtH, (13.5.21)

O = IftJgL. (13.5.22)

Так как gih несингулярно, из условия (13.5.21) следует, что

Ifr = 0- (13.5.23)

Мы отмечали также, что в каждой точке можно найти векторы Киллинга, для которых Zk принимают любые произвольные значения, а потому коэффициент при |ft в (13.5.22) должен равняться нулю:

-^?- = 0. (13.5.24)

duh

Теперь остается только показать, что gu (и, v) не зависят от и или эта зависимость определяется множителем / (v). Воспользуемся тем фактом, что для любого фиксированного V0 имеется M (M + 1)/2 независимых векторов Киллинга, соответствующих метрике gu (и, V0), которые, согласно (13.5.23), являются также векторами Киллинга для gtj (и, v) при любом v. Каждый из этих векторов Киллинга |г (и) будет тогда удовлетворять (13.5.5) ДЛЯ V = ^0 и при любом V.

A dIh (и) . . , d?h (и) . . , , . dSij (и, V0)

0 = -*ГГ~8>ч(и' ^o)+ ' 'fti ", V0)+ Ih (и)-—- ,

диг ди1 диЛ

о = gki (U, V) +^lghi (U, V) + |* (и) iU> ">

Oui диі Ouh

Можно интерпретировать эти два уравнения, сказав, что gtj (и, v) — максимально форминвариантный тензор [в смысле § 5. Пространство с максимально симметричными подпространствами 429'

формулы (13.4.3)1 в максимально симметричном пространстве с метрикой gij (и, V0). Тогда из этого следует, согласно выражениям (13.4.10) и (13.4.11), что тензор gi} (и, v) пропорционален метрике gu (и, v0), причем коэффициент пропорциональности не зависит от и, т. е.

gij (и, v) = / (v, v0) gu (и, v0).

Значение V0 может быть фиксировано произвольным образом, так что мы можем его вообще не писать:

gij (и v) = f(v)~gu(u), (13.5.25)

где

f(v) = f(v, v0), 'gij (и) = gij (и, V0), (13.5.26)

Собирая (13.5.20), (13.5.24) и (13.5.25), убеждаемся, что метрика gvv (и, v) действительно имеет форму, задаваемую (13.5.4), (13.5.26) и (13.5.5), где V = V0 показывает, что gtj (и) — максимально симметричная метрика, как было доказано.

Эту теорему можно было бы также доказать при явно более слабом предположении, что все пространство разбивается на подпространства, изотропные в каждой точке. Это предположение означает, что в любой точке и0, v можно найти векторы Киллинга всего пространства с = 0, для которых исчезают в точке и0, V и для которых в точке и0, V — это произвольная антисимметричная матрица. В частности, можно найти M (M — 1)/2 векторов Киллинга |<гт) (и, v, и0), причем

r«m)(u, V, U0) = 0 11(1т) (и, V, U0) = — ё!(тг) {и, V, U0), для которых справедливо соотношение

t(lm) / Ч „ / ,Л / (и, V, K0) \ я 1Ят стя1

j' {U0, v; U0) = gih \Uq, v) ( -—--= o; bj — bi 8j .

\ du' Zti=Uo

Можно затем ввести

^v U0) (и, V, U0),

її аргументы, приведенные в § 1 этой главы, указывают на то, что это векторы Киллинга всего пространства, причем

la(l)(u, V, U0) = 0

а

Im (и0, V, U0) = — (jV-1) gU 430

Гл. 13. Симметричные простр але тв CL

Существование M (М + 1)/2 независимых векторов Киллинга ^H(Im) и показывает, что пространство действительно обладает максимально симметричными подпространствами.

Во всех практически важных случаях максимально симметричные подпространства являются пространствами, которые в противоположность пространству-времени имеют положительные собственные значения подматрицы gtj. В этом случае для того, чтобы вычислить gtj du1 du3, можно использовать (13.3.23), (13.3.24) или (13.3.25), что дает

-dx* = gab(v)dvadvb + f(v) {du2 + »frff } , (13.5.27) где / (V) положительно и

{+1, если 7?>0,

-1, если Kc 0, (13.5.28)

0, если K= 0,

где К — скалярная кривизна максимально симметричного подпространства. [Ранее в (13.3.23) и (13.3.24) мы включили скалярную кривизну I К I"1 в функцию / (у).] Воспользуемся теперь полученным выражением для рассмотрения частных случаев, перечисленных в табл. 13.1.

А. Сферически-симметричное пространство. Предположим, что размерность пространства N = 3, что все собственные значения его метрики положительны и что оно имеет максимально симметричные двумерные подпространства положительной кривизны. Тогда имеется одна координата v, которую обозначим г, и две координаты и, которые определим через углы 8 и ф следующим образом:

и1 = sin 8 cos ф, и2, = sin G sin ф. (13.5.29) Тогда при k = 1 выражение (13.5.27) принимает вид

ds2 = g (г) dr2 + / (г) {do2 + sin2 Є йф2}, (13.5.30) где / (г) и g (г) — положительные функции от г.

Б. Сферически-симметричное пространство-время. Предположим, что размерность всего пространства-времени N = 4, что три собственных значения его метрики положительны и одно отрицательно и что пространство-время обладает максимально симметричными двумерными подпространствами, метрики которых имеют положительные собственные значения и положительную кривизну. Тогда имеются две координаты v, которые можно назвать г и і, и две координаты и, которые можно заменить на 0 § 5. Пространство с максимально симметричными подпространствами 431'

и ф, как в (13.5.29). Тогда при k = 1 выражение (13.5.27) принимает вид
Предыдущая << 1 .. 143 144 145 146 147 148 < 149 > 150 151 152 153 154 155 .. 254 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed