Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Это означает, что зависимость от х'* любого космического поля ^v (х'), Tvv (х') и т. д. должна выражаться той же функцией, что и зависимость соответствующих величин g?V (х), Tllv (х) и т. д. от стандартных координат х», т. е. в каждой координатной точке у* мы должны иметь
?uv (У) = g'nv (у), (14.1.1)
T(У) = ^v (У) ит. д. (14.1.2)
На языке предыдущей главы, (14.1.1) означает, что координатное преобразование х х' должно быть изометрией, а (14.1.2) означает, что Ttiv и т. п. должны быть форминвариантными при этих преобразованиях.
В частности, равенство (14.1.2) должно выполняться и для скаляра S, использованного для определения нашего эталонного космического времени t. Поскольку S (по определению) — функция только от і и скаляр, то (14.1.2) для S при у = х' запишется в виде
S (Г) = S' (х') = S (х) = S (t), и, таким образом,
Г = t. (14.1.3)
Во всех системах координат, эквивалентных эталонной космической системе, с необходимостью используется эталонное космическое время.
Предположение о пространственной изотропии может быть сформулировано теперь как требование существования зависящего от трех независимых параметров G1, 0а, G3 семейства координатных систем х'* (х\ G), эквивалентных эталонной космической системе и имеющих общее начало, т. е.
Xri (О, V, 8) = 0. (14.1.4)
Мы склонны воспринимать эти три параметра Gn как углы Эйлера, определяющие ориентацию координатных осей х'г относительно координатных осей хг, но в такой определенности нет необходимости; важно лишь, чтобы было три независимых параметра. (При формулировании этого предположения мы неявно подразумеваем, что привилегированная лоренцева система отсчета, в которой Вселенная выглядит изотропной, случайно оказывается в какой-то мере совпадающей с нашей Галактикой.) S 1. Космологический принцип
437
Несколько сложнее сформулировать предположение об однородности. Очевидно, однородность не означает, что любой объект можно выбрать в качестве начала: все-таки, для наблюдателя, удаляющегося от Млечного Пути со скоростью, равной половине скорости света, Вселенная выглядит иначе, чем для нас! Самое большее мы можем рассчитывать на то, что каждая точка в пространстве-времени лежит на некоторой «'фундаментальной траектории» x1 = Xх (t), которая может служить началом системы координат x'v-, эквивалентной стандартной космической системе. (Это тесно связано с постулатом, называемым принципом Вейля, который используется в некоторых формулировках космологии.) Млечный Путь представляется довольно обычной галактикой, более или менее покоящейся относительно ближайших соседей, и поэтому можно ожидать, что фундаментальные траектории X (t) довольно хорошо определены движениями типичных составляющих космического газа галактик. Однако все это никак не является существенной частью предположения об однородности. Важно следующее: поскольку X (t) в каждый момент t заполняют все пространство, они задаются тремя независимыми параметрами а1, за которые можно принять, например, значения а1 = = Xх (t) функций Xх (t) в некоторый заданный момент t = Т. Таким образом, однородность означает, что имеется трехпара-метрическое множество координат х'»(х\ а), которые эквивалентны стандартным космическим координатам х» и имеют началом траекторию x1 = Xх (t\ а), т. е.
Xli (X (t; a), t\ а) = 0. (14.1.5)
Точнее, X (t; а) — это траектории привилегированных наблюдателей, для которых Вселенная выглядит изотропной.
Итак, мы видим, что космологический принцип приводит к двум независимым трехпараметрическим семействам координатных преобразований хх', х—^х', которые являются изо-метриями в смысле равенства (14.1.1) и которые, согласно (14.1.3), оставляют временную координату инвариантной. Следовательно, Вселенная удовлетворяет требованиям, наложенным (§ 5 гл. 13) на четырехмерное пространство с максимально симметричным подпространством t = const.
Чтобы увидеть это в деталях, обратимся к случаю инфиии-тезимальных преобразований, полагая 6® и ах близкими нулю. Тогда имеются две тройки «векторов Киллинга» tf (х) и Ej1 (х):
Ei(S)^ 9) , SJ(S)^O, (14.1.6)
е=о
^ (x) ^ а*" (*; д) , itj(x) = O. (14.1.7)
dal а—0 •438
Гл. 14. Космография
Нужно только показать, что эти шесть векторов независимы. Допустим, что они удовлетворяют линейному соотношению
S Ci (t) |j (X) + S ?'(t) Ii (X) = 0. (14.1.8)
І І '
Согласно уравнениям (14.1.4) и (14.1.5), имеем
Ij (0, t) = 0, (14.1.9)
.(0,0 = - dXi(t'a)
dal
а=0
(14.1.10)
так что при X1 = 0 соотношение (14.1.8) имеет вид
wV dal Ia=O
3
Поскольку а1 — независимые параметры, отсюда следует, что
cj (t) = 0. (14.1.11)
Вновь обращаясь к (14.1.8) и (14.1.6), получаем теперь
2 С* (Of-^ltaJL) =0, ^-1 wV дві /0=0
3
и, так как G1 — независимые параметры, отсюда следует, что
с* (t) = 0. (14.1.12)
Таким образом, имеется шесть независимых векторов Киллинга с Iі =0, т. е. максимально возможное число (§ 1 гл. 13) при трех измерениях.
В заключение можно сформулировать космологический принцип на языке гл. 13 следующим образом:
