Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
В этом параграфе мы увидим, что максимальная симметрия набора подпространств накладывает очень сильные ограничения на метрику всего пространства. Для того чтобы сформулировать и доказать это положение, прежде всего выберем удобную систему координат. Если все пространство имеет N измерений, а его максимально симметричные подпространства М-мерны, то мы можем маркировать эти подпространства N — M координатами, обозначаемыми Vа, и задавать точки внутри каждого подпространства с M координатами иг. Ряд примеров приведен в табл. 13.1.
Мы говорим, что подпространства с постоянными Vа являются максимально симметричными, если метрика всего пространства инвариантна относительно группы инфинитезимальных преобразований
Ui-^ и'1 = Ui -LeIi (и, V). (13.5.1)
у»у'» = у», (13.5.2) § 5. Пространство с максимально симметричными подпространствами 423'
Таблица 13.1
Примеры пространства с максимально симметричными подпространствами
Пример D-координата и-координата
Сферически-симметричное пространство г Є, ф
Сферически-симметричное пространство-время Г, t Є, ф
Сферически-симметричное и однородное прост- t г, 6, ф
ранство-время
где V являются M (M + 1)/2 независимыми векторами Киллинга. Это преобразования общего вида (13.1.3), но с той особенностью, что Vа являются инвариантами, а потому
Iа (и, V) = 0. (13.5.3)
Заметим, что хотя эти преобразования действуют только на переменные и, нет никаких причин, по которым эти правила преобразований не могли бы зависеть параметрически от величин Vа, соответствующих данному трансформируемому подпространству. Наше утверждение о том, что имеется M (M + 1)/2 «независимых» векторов Киллинга, следует понимать в том смысле, что существует M (М + 1)/2 векторов Киллинга, не связанных никакими линейными соотношениями, в которых коэффициенты не зависят от и.
Общее положение, определяющее структуру таких пространств, формулируется в виде следующей теоремы. Всегда можно выбрать такие координаты, что метрика всего пространства задается формулой
— сіт2 = ^v dz* dx^ = gab (у) dvo- dvb + у dui du.Jj (13.5.4)
гДе Sab (v) и / (v) — функции только у-координат, a Sa (и) — функция только ц-координат и сама по себе является метрикой ilf-мерного максимально симметричного пространства. (Обозначение суммирования здесь прежнее, причем a, b. . . пробегают iV — M значений номеров координат v, а г, k, I. . . пробегают M значений номеров координат и.)
Начиная доказательство, запишем условие того, что (13.5.1) есть изометрия всего пространства (х). Это условие удобно использовать здесь в его первоначальной форме (13.1.4), а не в более изящной ковариантной форме записи (13.1.5). Каждый индекс [X, V, р ... в (13.1.4) теперь пробегает N —M значений номеров координат Vа и M значений номеров и\ а потому (13.1.4) записывается теперь в виде трех отдельных уравнений. 424
Гл. 13. Симметричные простр але тв CL
Для р = г, ст = j имеем
du* диі
. dg; і (и, v)
+ Ik (U, v) glJd[u; . (13.5.5)
Для p = і, ст = а имеем
X gik (и, V) + Ik (и, V) dgiaJu' v) . (13.5.6)
du11
Для p = а, ст = b имеем
A dlh (и, V) , . . dlk (и, V)
O= gkb(u, V)+ ^v; X
X gka (u, v)+t(u, V) dgabJu' V) . (13.5.7)
Первое из этих трех уравнений говорит просто о том, что gn (и, v) должно быть для каждого фиксированного набора Vа метрикой Лі-мерного пространства с координатами и1, которая допускает существование векторов Киллинга Мы предполагаем здесь, что существует M (M + 1)/2 таких независимых векторов Киллинга; из этого следует, что подматрица gtj (и, v) является в свою очередь максимально симметричной метрикой для каждого набора фиксированных Vа. Из обсуждения, проведенного в § 1 гл. 13, вытекает, что для любой данной точки щ можно найти векторы Киллинга \k (и, и), причем ^k (и0, v) и Ift; і (ио> v) принимают произвольные значения, удовлетворяющие единственному требованию, чтобы і = —^i; н- Таким образом, метрика gjj (и, v) является для каждого v однородной по и и изотропной в любой точке.
Два других уравнения содержат информацию об остальных элементах gai и gab, а также о зависимости векторов Киллинга от v. (Зависимость от v не совсем произвольна. Например, справедливо следующее утверждение: переопределением координат и всегда можно добиться того, чтобы метрика gtj (и, v) имела независимые от V векторы Киллинга (и), а векторы Киллинга (и, v) всего пространства были бы, вообще говоря, линейными комбинациями (и), причем коэффициенты в них могли бы зависеть от координат v.) Для того чтобы извлечь информацию, содержащуюся в (13.5.6) и (13.5.7), очень удобно перейти к новому набору координат и'1 (и, v) в максимально симметричных подпространствах так, чтобы g'ja равнялись нулю. Предположим, что можно § 5. Пространство с максимально симметричными подпространствами 425'
найти функцию Uh (v\ и0), удовлетворяющую дифференциальному уравнению
gik(U, v)^r=-gia(U, v) (13.5.8) с начальным условием
Uh (v0] щ) = u0h (13.5.9)
в некоторой точке v0a. Тогда координаты и'1, v'a определяются соотношением
