Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
t = -J= [^J- Ch [K11H') + (1 + ^f-) sh (K11Y) ] , (13.3.40)
X= х'ехр (K11H').
Тогда (13.3.39) записывается следующим образом:
dx2 = dt'2-exy (2Klht') dx'2. (13.3.41)
Можно также ввести координаты, в которых метрика оказывается не зависящей от времени, т. е.
t" = f--JJr In [1 - Kx'2 exp (2K11H')],
х" = х'ехр (K11H'). (13.3.42) Тогда (13.3.41) принимает вид
dra = (I-Zx"2) dt"2. (13.3.43)
Такую метрику впервые обсуждал де Ситтер [2], она явится основой нашего рассмотрения стационарной космологической модели в гл. 14.
Следует еще раз подчеркнуть, что хотя и кажется, что максимально симметричная метрика (13.3.4) возникает произвольным образом, в действительности она представляет собой наиболее общий возможный случай максимально симметричной метрики, поскольку теорема единственности из предыдущего параграфа утверждает, что любая другая максимально симметричная метрика может быть приведена к виду (13.3.4) с помощью надлежащего преобразования координат.
§ 4. Тензоры в максимально симметричном пространстве
Предположение о максимальной симметрии может быть отнесено не только к метрике пространства, но и к любому тензорному полю, содержащемуся в пространстве. Говорят, что тензорное поле Tiiv... является форминвариантным относительно преобразования X —>- х', если T1iiv ... (х') — та же самая функция его аргумента х'*, что и Tiiv... (х) ее аргумента хт. е.
,Tlxv... (у) = Tilv... (у) для всех у. (13.4.1)
27* 420
Гл. 13. Симметричные простр але тв CL
В любой данной точке преобразованный тензор задается обычной формулой
дх'р дх'°
2W.. (*) = ^ dxv ¦¦¦По.-Лх'),
а потому условие форминвариантности (13.4.1) выглядит так: ^V... И =.^r-^r ... Tpa... (X'). (13.4.2)
При инфинитезимальном преобразовании
JE-H = SH + !!^ (Ж), |е|<1, условие (13.4.2) в первом порядке по е принимает вид
л ^p («) T м I (х) T м ,
+ ...+? (X)-^r Tm... (х) (13.4.3)
(т. е. производная JIu от 77^... по равняется нулю; см. § 9 гл. 10). Тензор в максимально симметричном пространстве, удовлетворяющий (13.4.3) для всех N (N + 1)/2 независимых векторов Киллинга Iх (х), будет называться максимально форминва-риантным.
Для скаляра S (х) соотношение (13.4.3) выглядит просто как f (X)^rS(X) = 0. (13.4.4)
Если скаляр является максимально форминвариантным, то (х) в любой данной точке может принимать любое значение и, следовательно, (13.4.4) требует, чтобы S было п
ОСТОЯННЫМ!
-S- = O. (13.4.5)
Для любого другого максимально форминвариантного тензора удобно сначала выбрать векторы Киллинга (х), которые в данной точке X удовлетворяют условию
Sx (X) = 0
и для которых величины
dlp (X)
= *»<*)(-Уг1)
дх11 Ix=X
образуют произвольную антисимметричную матрицу. Тогда в точке X = X уравнение (13.4.3) записывается следующим образом:
0 = ^,(6^...+0??.. + ...}. § 4. Тензоры в максимально симметричном пространстве 421
Так как |а; т — произвольная антисимметричная матрица, коэффициент при ней должен быть симметричным по ст и т:
бITav... + SlTil0.. + ... = . + KTiXx..+.... (13.4.6)
Поскольку X было произвольным, это условие должно выполняться повсюду.
Для максимально форминвариантного вектора Ail (х) соотношение (13.4.6) принимает вид
Свертывая р и т, находим, что в iV-мерном пространстве выполняется
NAa = Aa.
Отсюда, исключая тривиальный случай N = 1, следует
= 0. (13.4.7)
Для максимально форминвариантного тензора второго ранга Biiv уравнение (13.4.6) выглядит так:
S1ItB0V + ov4° = + ьсVB^ .
Свертывание тер дает
NBav + Ba = Bav + S0vS/,
а понижение индекса ст приводит к условию
(N-1) Bav + Bva = gavB^. (13.4.8)
Вычитая отсюда подобное соотношение с переставленными v и ст, получаем
(Ar - 2) (Bav — Bva) = 0,
т.е., если N Ф 2, тензор Bav должен быть симметричным:
Bav = Bva. (13.4.9)
(При двух измерениях Bav может иметь антисимметричную часть, пропорциональную см. § 4 гл. 4.) Подставляя (13.4.9)
в (13.4.8), находим, что для N ^ 3 (и для симметричной части Bav при N = 2) выполняется соотношение
Bav = fgav, (13.4.10)
где
І 7~> „ 422
Гл. 13. Симметричные простр але тв CL
Чтобы отыскать зависимость / от координат, можно подставить (13.4.10) снова в условие форминвариантности (13.4.3):
л di0 j. I 91° , , л- д ,, >
Но удовлетворяет условию Киллинга (13.1.4), что дает
б*, df
O = ^vT
дхх
В максимально симметричном пространстве можно в любой данной точке придать любое значение и, следовательно,
-4- = 0. (13.4.11)
дхх '
Таким образом, единственный максимально форминвариантный тензор второго ранга — это метрический тензор, возможно, умноженный на какую-нибудь постоянную.
§ 5. Пространство с максимально симметричными подпространствами
Во многих физически важных случаях все пространство (или пространство-время) не является максимально симметричным, но может быть разложено на максимально симметричные подпространства. Например, сферически-симметричное трехмерное пространство может быть представлено как набор сферических поверхностей с центрами в начале координат, каждая из которых описывается метрикой (13.3.28). В гл. 14 мы рассмотрим такие типы пространства-времени, для которых метрика сферически-симметрична и однородна в каждой «плоскости» постоянного времени.
