Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
-dx2 = gtt (г, t) dt2 + 2grf (г, 0 dr dt +
+ grT (г, t) dr2 + / (г, f) {d02 + sin2 Є сйр2}, (13.5.31)
где / (г, ?) — положительная функция, a gtj (г, t) — матрица 2 X 2 с одним положительным и одним отрицательным собственными значениями.
В. Сферически-симметричное однородное пространство-время.
Предположим, что размерность всего пространства-времени N = = 4, что три собственных значения его метрики положительны, а одно отрицательно и что имеются максимально симметричные-трехмерные подпространства, метрики которых имеют положи-тельные собственные значения и произвольную кривизну. Тогда существует одна координата v и три координаты и, и (13.5.27) выглядит так:
- dx2 = g (V) dv2 + / (V) { du2 + } .
Здесь f (v) — положительная функция, a g (v) — отрицательная функция от v. Очень удобно ввести новые координаты t, V, 0, Cp с помощью соотношений:
j (~g(v))1,2dv = t,
U1 = г sin 0cos ф, U2 = г sin 0 sin ф, U3 = Г COS 0.
Получаем
dxz = dt2 — T?2 (t) { і+ г2 dQ2 + j-2 sin2 0 dtp2 j , (13.5.32)
где R (t) = VJW) ¦
Первые два примера показывают, как можно отразить сущность сферической симметрии с помощью качественного описания пространства (или пространства-времени), задавая размерность, знаки собственных значений, кривизны и максимальную симметрию подпространства. Метрики (13.5.30) и (13.5.31) — как раз те, что мы ожидали бы получить на основании біолее элементарных соображений: (13.5.31) служило даже отправным пунктом в § 7 гл. И.
Однако наш третий пример приводит к выводу, который было не столь легко предвидеть. Конечно, выражение (13.5.32) уже 432
Гл. 13. Симметричные простр але тв CL
было получено в § 9 гл. 11 как метрика внутри сферически-симметричной коллапсирующей звезды с однородной плотностью и нулевым давлением. Здесь мы, однако, увидели удивительно красивый путь получения метрики, исходя лишь из предположения об однородности и изотропности, т. е. без явного использования уравнений поля Эйнштейна
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Eisenhart L. P., Continuous Groups of Transformations, Dover РцЫ., 1961 (см. перевод: Эйзенхарт, JI. П., Непрерывные группы преобразований, ИЛ, 1947).
Eisenhart L. P., Riemannian Geometry, Princeton University Press, 1926 (см. перевод: Эйзенхарт, Л. П., Риманова геометрия, ИЛ, 1949).
Helgason S., Differential Geometry and Symmetric Spaces, Academic Press, 1962.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Killing W., J. f. d. reine u. angew. Math. (Crelle), 109, 121 (1892).
2. de Sitter W., Proc. Roy. Acad. Sei. (Amsterdam), 19, 1217 (1917); 20, 229 (1917); 20, 1309 (1917); Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 78, 3 (1917). Хотим мы знать, о да, хотим мы знать, Каким же может оказаться этот мир.
В. Ш. Джилберт, Микадо
Глава 14 КОСМОГРАФИЯ
Современная наука началась тогда, когда открыли, что Земля не есть центр Вселенной. Антиантропоцентризм стал частью научного мышления, и никто не станет теперь считать всерьез, что Земля, или Солнечная система, или наша Галактика, или наша Местная Группа галактик занимают какое-то выделенное положение в космосе. Интуиция ведет нас скорее в направлении прямо противоположном. Большая часть современной космологической теории строится на космологическом принципе, т. е. на гипотезе о том, что все положения во Вселенной, по существу, эквивалентны. Однородность Вселенной, конечно, нужно представлять себе по аналогии с однородностью газа: нельзя говорить об однородности в малых частях; однородна лишь «размазанная» Вселенная, усредненная по ячейкам размером IO8—IO9 световых лет, которые настолько велики, что вмещают много скоплений галактик. Вместе с тем мы видим, что Вселенная сферически-симметрична относительно нас, а это в рамках космологического принципа приводит к предположению об изотропности «размазанной» Вселенной в каждой точке.
Все же остается вопрос: была ли Вселенная сферически-симметричной и однородной во все моменты времени или же это просто временное явление на данной фазе ее развития? Есть интересное предположение (оно обсуждается в § 11 гл. 15) о том. что. возможно, Вселенная была крайне анизотропна в течение некоторой ранней плотной фазы, но с тех пор эта анизотропия сильно уменьшилась из-за вязкости нейтринного газа и из-за других диссипативных процессов. Однако даже в такого рода теориях Вселенная в высшей степени изотропна и однородна на протяжении всей той части ее истории, которая непосредственно доступна астрономическим наблюдениям.
В этой главе будет построена и использована математическая схема описания Вселенной, целиком основанная на космологическом принципе и на тех разделах общей теории относительности, которые следуют только из принципа эквивалентности (они изложены в гл. 2—6 и 13). Сначала будет показано, что космологический принцип позволяет полностью выразить метрику космоса через «радиус» R (t) и константу к, принимающую три значения, 28—0788 434
Гл. 14. Космография
как в (13.5.32). Затем мы увидим, что астрономические наблюдения можно интерпретировать как измерения R (t) и к.
