Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
1. Гиперповерхности постоянного стандартного космического времени суть максимально симметричные подпространства всего пространства-времени в целом.
2. Не только метрика g^v, но и все космические тензоры, такие, как Tliv, форминвариантны относительно изометрий этих подпространств.
§ 2. Метрика Робертсона — Уокера
Формулировка космологического принципа, данная в предыдущем параграфе, позволяет нам применить результаты, полученные в § 5 гл. 13, для пространств с максимально симметричными подпространствами. Ясно сразу, что можно выбрать такие координаты г, 8, ф, t, что метрика запишется в виде
dx2 = dt2-R2(t) { 1 JrIr2 + г2 dQ2 + г2 sin2 G dS2 } , (14.2.1) § 2. Метрика Робертсона — Уокера
439
где R {t) — неизвестная функция времени и к — постоянная, значения которой при подходящем выборе единиц для г равны 4-1. О или —1. [Эти координаты не обязательно совпадают со стандартными космическими координатами, введенными в предыдущем параграфе, хотя t в (14.2.1) есть эталонное космическое время или его функция.] Метрика (14.2.1) известна в космологии как метрика Робертсона — Уокера.
Интересно рассмотреть геометрические свойства трехмерных пространств постоянного t. Они имеют метрику
s^r = -??-, 3See =r2Rz (t), SgФФ = г2 Sin2QR2 (t) (14.2.2)
» 3Sa = О ПРИ і ФІ- Сравнение с (13.3.23) — (13.3.25) показывает, что трехмерная скалярная кривизна равна
3K (t) = kR-2 (t). (14.2.3)
Для k = —1 или к = 0 пространство бесконечно, тогда как для к = +1 оно конечно (хотя и не ограничено), и в этом случае наибольшая длина окружности в нем и его собственный объем определяются соответственно формулами (13.3.33) и (13.3.29):
3L = 2nR (t), (14.2.4)
3V = 2л2R3 (t). (14.2.5)
Для к = +1 пространство Вселенной можно рассматривать как поверхность сферы радиусом R (t) в четырехмерном евклидовом пространстве (§ 3 гл. 13), и есть все основания называть Я (t) «радиусом Вселенной». Для к = —1и& = 0 никакой интерпретации такого рода дать нельзя, но R (t) по-прежнему характеризует геометрические размеры пространства, так что R (t) во всех случаях будет именоваться космическим масштабным фактором.
Координаты г, 8, ф, t в § 5 гл. 13 были построены так, чтобы координатные преобразования, оставляющие форминвариантной четырехмерную метрику (14.2.1), были чисто пространственными преобразованиями, оставляющими форминвариантной метрику (14.2.2). Они состоят из вращений координатной системы как твердого тела вокруг начала
Xri = RijXi (і. j = 1, 2, 3), (14.2.6)
где R — произвольная ортогональная матрица (и как обычно, X1 ^= г sin 8 cos ф, X2 = г sin 8 sin ф, х3 = г cos 8) и из «квазитрансляций», которые получаются после приравнивания матрицы КС в (13.3.17) единичной матрице, умноженной на к:
х' = х + а {(1 -кх2)1/2-[1-(1-fca2)1/2] (?2")} , (14.2.7)
где а — произвольный 3-вектор. •440
Гл. 14. Космография
Преобразование (14.2.7) переносит начало в точку а. Поэтому можно сделать вывод, что любая фиксированная точка может служить началом координат, эквивалентных координатной системе, используемой в (14.2.1). Иначе говоря, равенство X (t\ а) = а определяет «фундаментальные траектории» наблюдателей, для которых Вселенная выглядит так же, как для нас. В предыдущем параграфе уже отмечалось, что фундаментальные траектории должны быть близки к путям движения типичных галактик. Поэтому мы можем приближенно полагать, что пространственные координаты г, G, ф образуют сопутствующую систему в том смысле, что типичные галактики имеют постоянные пространственные координаты г, G, ф. Можно представить себе сопутствующую координатную сеть в виде линий, проведенных на поверхности воздушного шарика, а типичные галактики — в виде точек, нанесенных на нее. Когда шарик раздувается или сжимается, его точки движутся, но вместе с ними движутся и линии, так что каждая точка имеет те же самые координаты.
Важно отметить, что фундаментальные траектории х = const являются геодезическими, поскольку в силу (14.2.1)
Таким образом, утверждение, что галактика имеет постоянные г, G, ф, вполне согласуется с предположением, что галактики находятся в свободном падении. Заметим также, что t в (14.2.1) — не только возможное эталонное космическое время, но оно также есть собственное время, показываемое покоящимися часами в каждой типичной свободно падающей галактике. Координаты X, t являются, таким образом, сопутствующими в точно том же смысле, что и «нормальные гауссовы» координаты, введенные в § 8 гл. И.
Применение космологического принципа к тензорам, описывающим усредненное состояние космической материи, таким, как тензор энергии-импульса Tixv и ток галактик Jg [Jq определяется точно так же, как электрический ток (5.2.13), только сумма берется по галактикам, а не по частицам и множитель еп берется равным 1], помогает лучше понять поведение материи во вселенной Робертсона — Уокера. Требуется, чтобы все такие тензоры были форминвариантны [в смысле рассуждений § 4 гл. 13 и формулы (14.1.2)] относительно преобразований координат, таких, как (14.2.6), (14.2.7), которые оставляют форминвариантной метрику (14.2.1). Эти «изометрии», будучи чисто пространственными, преобразуют JiQ и Ttt как 3-скаляры, Jg и Tlt как 3-векторы, a Tii как 3-тензор. Отсюда следует, согласно теоремам, доказанным в § 4 гл. 13, что
