Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
(14.2.8)
JGl = nG{t), Jci = O
(14.2.9) § 2. Метрика Робертсона — Уокера
441
Ttt = р (t), Tit = 0, Tij = 3gijP(t), (14.2.10)
где По, р и р — неизвестные величины, которые могут зависеть от t, но не от г, 9 или ф. Эти результаты можно записать изящнее:
Jatl = IieU*, (14.2.11)
Tliv = (р+р) UliUv + Pgliv, (14.2.12) где U11 — «вектор 4-скорости»:
Ut = 1, (14.2.13)
Ui = 0. (14.2.14)
Из равенства (14.2.14) следует, что содержимое Вселенной, как и ожидалось, в среднем покоится в системе г, 0, ф. Кроме того, сравнение (14.2.12) с (5.4.2) показывает, что тензор энергии-импульса Вселенной с необходимостью принимает форму такую Жв^ faCLfa для идеальной жидкости.
Полезно выписать сразу дифференциальные уравнения для пв(і), р (0 и р (t), вытекающие из законов сохранения. Если галактики не возникают и не распадаются, то Jq подчиняются уравнению непрерывности (5.2.14):
0= (JG% * = ^r WUev) = g-y2-Jf (glhnG). (14.2.15)
Детерминант метрики (14.2.1) равен —g, причем
g = Re (t) г4 (1 - kr2)-1 sin2 Є, (14.2.16)
и, следовательно, сохранение числа галактик сводится к равенству
nG(t) R3 (t) = const. (14.2.17)
(Заметим, что пв есть число галактик в единице собственного объема, которая увеличивается или уменьшается в зависимости от того, сжимается или расширяется Вселенная, в то время как tiG Rs — число галактик в единице координатного объема и оно остается постоянной в сопутствующей системе координат.) Тензор энергии-импульса (14.2.12) подчиняется уравнению непрерывности (5.4.3):
0 = Tliv- v = JEr ^v.+ g-ъ JL [gv2 (р + р) и^] +
+ T\x(P + p)UvU\ (14.2.18)
Используя (14.2.8) и (14.2.14), находим, что это уравнение тривиально удовлетворяется при р = г, 0, ф, а при р == t имеет вид
дз (0 = d {йз {t) [р {t) + р (14.2.19) •442
Гл. 14. Космография
Например, если давление космической материи пренебрежимо мало, то (14.2.19) дает результат, аналогичный (14.2.17):
Исключительное удобство сопутствующих координат не должно заслонять от нас того факта, что на самом деле типичные галактики удаляются друг от друга или сближаются при увеличении или уменьшении R (t). Чтобы уяснить это, нужно более четко определить, что мы подразумеваем под расстоянием между галактиками. Представим себе цепочку галактик, расположенных близко друг к другу на луче зрения между нами и некоторой удаленной галактикой с координатами A1, Q1, ф1, и предположим, что в один и тот же момент t космического времени наблюдатели на каждой галактике измеряют расстояние до соседней, скажем, измеряя время хода светового сигнала. (Заметьте, что это не то же самое, что измерение времени хода одного светового сигнала от г = 0 до г = A1.) Сложение всех отдельных расстояний дает собственное расстояние".
Очевидно, никто не собирается организовывать подобного рода космический заговор, а потому, с точки зрения наблюдательной космологии, нет необходимости иметь дело с понятием собственное расстояние. Однако мы увидим в § 4 этой главы, что более привычные способы измерения расстояний, основанные на видимых светимостях и угловых диаметрах при гг 1, приближают нас к собственному расстоянию (14.2.21). Следовательно, в том или ином смысле галактики разбегаются, если R (t) растет, или сближаются, если R (t) уменьшается.
Космологическая теория выдвигает перед наблюдательной астрономией проблему измерения функции R (t) и определения значения постоянной к — равна ли она +1, 0 или —1. Это не единственные данные, нужные космологии, но их получение является одной из центральных проблем, которые необходимо решить, если мы стремимся понять Вселенную. В оставшейся части главы говорится о том, в какой степени возможен ответ на этот вопрос.
§ 3. Красное смещение
Наиболее важную информацию о космическом масштабном факторе R (t) мы получаем из наблюдения сдвигов частоты света, излучаемого удаленными источниками. Чтобы вычислить такие сдвиги частот, мы расположимся в начале (г = 0) координат (согласно космологическому принципу, это лишь вопрос удоб-
р (t) R3 (t) = const.
(14.2.20)
(14.2.21) § 3. Красное смещение
443
ства) и рассмотрим электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль направления —г, когда 0 и ф фиксированы. Тогда уравнение движения заданного гребня волны имеет вид
Отсюда, если волна покидает типичную,галактику, расположенную в точке гг, B1, фг, в момент tlt то она достигает нас в момент t0, определяемый равенством
to f dt
J
11
= /(гі), (14.3.1)
где
'M-Svflgr= <14-3-2>
Oy t Ar shr1, A= — 1.
В предыдущем параграфе было установлено, что типичные галактики имеют постоянные T1, B1, фг и поэтому / (гх) не зависит от времени. Следовательно, если следующий гребень волны покидает T1 в момент ^1 -f- бtx, он придет к нам в момент t0 + б t0, который снова определяется соотношением вида (14.3.1)
to+oto
dt Hri). (14.3.3)
J R W
<і+б<і
Вычитая (14.3.1) из (14.3.3) и пользуясь тем, что R (t) очень мало изменяется за время порядка IO"14 с (период типичного светового сигнала), получаем
