Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Js2= I"1 [dx2--Y^r] для К<0. (13.3.24)
Для K = О можно положить Ciiv равной просто единичной матрице; тогда (13.3.3) дает
ds2 = dx2 для K = 0. (13.3.25)
(Здесь используются iV-мерные обозначения векторов. Мы заменили также —dx2 собственной длиной ds2, поскольку в данном примере интересуемся скорее геометрией, чем физикой.) Перейдем теперь к исследованию глобальных свойств этих пространств.
Для К > 0 удобнее вернуться к интерпретации (13.3.23) как метрики кривого пространства, вложенного с помощью (13.3.2) в плоское пространство (13.3.1). Будем считать, что (13.3.23) описывает поверхность
X2 + Z2 = 1 (13.3.26)
в плоском пространстве, где интервал имеет вид
ds2 = К-1 [dx2 + dz2]. (13.3.27)
Очевидно, что эта метрика соответствует просто поверхности сферы с радиусом К~1/2 в (N + 1)-мерном пространстве. [Чтобы сделать координаты х и z истинно евклидовыми, произведем замены х' = К~У2х иг' = K-1I2Z- Тогда (13.3.26) будет выглядеть так: х'2 + z'2 = К-1.] Так, в двумерном пространстве можно ввести угловые координаты 0, ф, задавая
X1 = sin 0 cos ф, X2 = sin 0 sin ф, § 2. Максимально симметричные пространства. Единственность 417
л (13.3.27) тогда принимает известный вид линейного элемента на сфере с радиусом К~1/2,\
ds2 = К-1 [dB2 + sin2 0 dcp2]. (13.3.28)
Вообще говоря, значения переменных х ограничены следующим образом:
X2 < 1.
Однако в действительности каждое х соответствует двум точкам, по числу корней уравнения (13.3.26) для z. (Например, в двумерном пространстве компоненты х — это координаты точек сферы, спроецированные на касательную плоскость. На карте Земли в полярной проекции Бостон, таким образом, оказывается в той же самой точке, что и Сан-Карлос де Барилоче в Аргентине.) Объем iV-мерного пространства описывается (13.3.23) и, следовательно, равняется
= 2 j Vgdxi ...dxN = 2К~N/z Г
J [1 —х211/а 1 1 1 1
Непосредственное вычисление дает
2я(ІУ+1)/2
N Г ((JV + 1)/2) v '
Например, V1 = 2лК~1-'2 есть периметр окружности радиусом if-1/2, a V2 = 4лК'1 есть площадь сферы радиусом К_1/2. Трехмерное пространство постоянной положительной кривизны имеет объем
V3 = 2 л2/Г3/2.
Можно также вычислить длину окружности на такой сфере, используя в качестве геодезических решения уравнения (13.3.22), которое теперь имеет вид
^ + Kx = 0. (13.3.30)
Решения, проходящие через точку х = 0, запишутся в виде
X = е sin (sK1/2), (13.3.31)
где для того, чтобы удовлетворить (13.3.23), положено
е2 = 1. (13.3.32)
Если мы начнем двигаться с «Северного полюса» х = 0 вдоль геодезической, мы достигнем «экватора» х = е при s = яК~1^/2, «Южного полюса» х = 0 при s = достигнем противополож-
ной точки X = —е на «экваторе» при s = ЗяК~1/2/2 и вернемся в начальную точку при s = 2я/Г-1/2. Таким образом, длина геодезической, охватывающей все пространство и возвращающейся
27-0788 418
Гл. 13. Симметричные простр але тв CL
в ту же точку, равняется
L = 2 яК-У* (13.3.33)
в пространстве произвольного числа измерений с постоянной положительной кривизной. Это вычисление наглядно показывает, что пространство, задаваемое (13.3.23), конечно, но не ограничено; когда мы достигаем кажущейся сингулярности при х2 = 1, то мы просто проходим через нее, но уже с Z, равным корню того же уравнения (13.3.26) с обратным знаком.
При К < 0 метрика (13.3.24) не имеет даже кажущейся сингулярности и ничто не ограничивает координаты х. В этом можно убедиться, вычисляя геодезические, которые, согласно уравнениям (13.3.30) и (13.3.24), имеют в данном случае следующий вид:
X= esh И-Я)1/2), (13.3.34)
е2 = 1. (13.3.35)
Можно, очевидно, пройти вдоль этой геодезической неограниченное расстояние, выйдя из начала координат. Для N = 2 это пространство совпадает с тем, что было открыто Гауссом, Бойяи и Лобачевским. [См. § 1 гл. 1. Для того чтобы задать метрику в форме (1.1.9) модели Клейна, необходимо ввести новый набор координат х'\ определяемый х' = х (1 + х2)-1/2.] Из (13.3.1) и (13.3.2) видно, что эта геометрия отвечает следующей поверхности в плоском пространстве:
-x2+ z2 = l, (13.3.36)
где
ds2 = \К\~Х [dx2 - dz2]. (13.3.37)
Знак минус в (13.3.37) означает, что это плоское пространство не является евклидовым. Теперь понятно, что геометрия Гаусса — Бойяи — Лобачевского не могла быть открыта до тех пор, пока геометры не научились думать о кривых поверхностях не как о подпространствах обычного евклидова пространства, но как о пространствах, характеризуемых их собственными внутренними метрическими соотношениями.
Наконец, возвратимся к пространству-времени и исследуем структуру четырехмерной максимально симметричной метрики с тремя положительными и одним отрицательным собственными значениями. В этом случае можно положить
Cliv = Tiliv. (13.3.38)
Тогда метрика примет вид
- dx2 = dx2 - dt2 + ¦ (13.3.39) § 4. Тензоры в максимально симметричном пространстве 419
При К > О можно ввести координаты, в которых пространственная часть метрики оказывается плоской, а именно
