Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
п
х* (X) = d*px P + 2 -Lf dPi ¦ • ¦ Ртх^ . . . ZV (13.2.14)
m=2
Добавим член порядка п + 1 по х*, чтобы (13.2.12) было установлено в п-м порядке. Это условие будет удовлетворено, если производная (13.2.12) установлена в порядке п —1, т.е. если
(fix* dx'v , . , 3?''' дх* , . ,. ,
dz»dJ дх* 8т {Х > ' I^J (Х ' ^
, дх* dx'v дх'к dSlxv(Xf) dSpo(X) -J-----——- —- в порядке X
дхр дх° дхх дх'* дхк
Это будет выполняться тогда (и, по существу, только тогда), когда справедливо равенство
д^х'* дх
-&Г BlA*') =gox (X)Ib (X)-
дх * дх v дх * , . , ул'ті , n-t
ъ(х)Тт(х) в порядке ж ».
Это необходимо доказать лишь в порядке п — 1 по х*, так что мы можем использовать (13.2.12), предполагая, что оно установлено в этом порядке, и превратить его в эквивалентное требование
д2х ^ Si11tJc,, dx'v дх "Л „'ц , ,, п„.
= В П0РЯДКЄ * *
(13.2.15)
Мы можем использовать (13.2.14), которое справедливо в порядке а:", чтобы вычислить член порядка х71'1 в правой части. Выпишем член § 2. Максимально симметричные пространства. Единственность 411
порядка п — 1:
= -1^^...^1-^-1. (!3-2.16)
причем коэффициенты eft,... зависят весьма сложным образом от функций (х) и ^mv (х') и от ранее найденных коэффициентов dpi...Pm- Тогда (13.2.15) будет удовлетворено в порядке п —1, если мы прибавим к (13.2.14) член порядка п -f 1
= J^TjTc^Ol...On-^xpZai ••• ^0'1"1 (13.2.17)
при условии, ЧТО коэффициент CXpai.. .On-I полностью симметричен по всем его нижним индексам. Эти коэффициенты, очевидно, симметричны при перестановке X и р или индексов среди Om, так что единственное условие, которому надо удовлетворить, — это чтобы данный коэффициент был симметричен по % и любому Om или, эквивалентно, чтобы производная (13.2.16) по X0 была симметрична по % и а:
д ( дх V г-х. , , dx'v дх'К р'Ц/ ,ч\
= В порядке (13.2.18)
Так как предполагается, что выражение (13.2.12) установлено в порядке Xn'1, выражение для его производной (13.2.15) будет справедливо в порядке хи~"2, а потому мы можем воспользоваться (13.2.12) и (13.2.15), чтобы переписать (13.2.18) в виде эквивалентного требования:
^Rpx-n W = -^-S-A(S') в порядке X-2. (13.2.19)
Ox dxv дхЛ дх'
Теперь воспользуемся выражениями (13.2.10) и (13.2.11), которые позволяют ввести вместо (13.2.19) эквивалентное требование:
ox'V dx'v
dx'v ( дх'х дх'ц ^ dx'? дх'с ^ ^^ ^ _________
V дхК О*™*-' - , В П0рЯДКЄ X
, . дх ^ дх и >, ,Л
^(S —^a(X))
(13.2.20)
Это условие действительно удовлетворено, ибо предполагалось, что (13.2.12) установлено в порядке х™-1. Как уже говорилось, это означает, что (13.2.19) установлено в порядке хп~2. Отсюда 412
Гл. 13. Симметричные простр але тв CL
следует, что (13.2.18) справедливо в порядке хп 2, что в свою очередь означает полную симметрию коэффициентов CliXpa1...а по их нижним индексам. Из симметрии вытекает, что (13.2.17) удовлетворяет (13.2.15), откуда следует, что путем прибавления (13.2.17) к (13.2.14) мы можем удовлетворить (13.2.12) в порядке хп. Таким образом, если (13.2.12) может быть удовлетворено в порядке хпполиномом х' (х) порядка п -j- 1, то его можно удовлетворить в порядке хп полиномом х' (х) порядка п + 1, и, следовательно, функция X (х), удовлетворяющая (13.2.12), действительно может быть построена как степенной ряд, что и требовалось доказать.
§ 3. Максимально симметричные пространства.
Построение
Максимально симметричные пространства, по существу, единственны, так что мы можем узнать о них все путем построения любых примеров пространства произвольной кривизны К. Имеется довольно очевидный путь выполнения такого построения (фиг. 13.1). Рассмотрим плоское (N + 1)-мерное пространство с метрикой
— di2 = gAB dxA dxB = Cilv dx* dxv + dz2, (13.3.1)
где Ciiv — постоянная N X iV-матрица, a K — некая константа. Можно вложить неевклидово iV-мерное пространство в это более широкое пространство, ограничивая значения переменных х* и z поверхностью сферы (или псевдосферы):
/fC^x^ + z2=!. (13.3.2)
На этой поверхности dz2 выражается следующим образом:
7„ К* (CiivX* dzv)2 К* (CvtvX* dxv)z
QrZ = ———————= і
Z2 (1 -КС^х*х*) '
и, следовательно, (13.3.1) имеет вид
К (CuvX* Aev) 2
— dr2 = Cilv dx* dx"н--—--L-. (13.3.3)
* (I-KCpaX* х°) V >
Тогда метрика имеет вид
gv.v{x) = Cv,v-f—— Jf р ClllXxCmXy-. (13.3.4)
(1 — KLpaX X )
Плоское пространство оказывается частный случай при K = 0.
Из этого построения следует очевидный вывод, что (13.3.4) допускает [iV (N + 1)/2]-параметрическую группу изометрий (13.3.1), так как и (N + 1)-мерный линейный элемент (13.3.1) и условие «вложения» (13.3.2) явно инвариантны относительно § 2. Максимально симметричные пространства. Единственность 413
,X = O
^Бостон
( Z \
X \/\х\-
V Сан-Карлос
др Барилоче
4xX=O
Фиг. 13.1. Представление точек сферы путем проектирования их на экваториальную плоскость.
Отметим, что каждой спроецированной точке с данными координатами х1 соответствуют
две точки на сфере.
