Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Максимально симметричные пространства.
Единственность
Покажем теперь, что максимально симметричные пространства определяются единственным образом «скалярной кривизной» К и собственными значениями метрики, которые могут быть положительными или отрицательными. Другими словами, для двух заданных максимально симметричных метрик с одинаковыми К и одинаковым числом собственных значений каждого знака всегда можно отыскать преобразование координат, которое переводит одну метрику в другую. Зная эту теорему, мы сможем выполнить в следующем параграфе исчерпывающее исследование максимально симметричных пространств, просто строя метрику в удобной системе координат.
В предыдущем параграфе мы показали, что в любой данной точке X максимально симметричного пространства можно найти векторы Киллинга, для которых (х) исчезает, а и (я) является произвольной антисимметричной матрицей. Отсюда следует, что 408
Гл. 13. Симметричные простр але тв CL
коэффициент при к (х) в соотношении (13.1.12) должен иметь равную нулю антисимметричную часть, т. е.
J_ Rfc Ky- Rfc _]_ Rfc Р\х_
POvuH і 1 lHOVuP -flOp^Uv -j- IXVPjiU0 —
= —Rpav^? + fijxov^p — Rap?Sv-)- Rvp?^ci- (13.2.1)
Мы также показали, что в любой данной точке х максимально симметричного пространства существуют векторы Киллинга, для которых Zk (х) принимает любые значения, какие мы зададим, так что (13.1.12) и (13.2.1) требуют, чтобы
Дорц; V= ^VPHI О* (13.2.2)
Нам в действительности необходимо использовать лишь (13.2.1), поскольку мы в последнем параграфе показали, что пространство, изотропное в окрестности каждой точки и, следовательно, удовлетворяющее (13.2.1), должно быть однородным, а потому должно также удовлетворять и (13.2.2).
В качестве первого шага в этом доказательстве получим формулу для тензора кривизны с помощью соотношения (13.2.1). Свертывая X и р в (13.2.1), получаем
— NRpav + fipcv — Rapv ^vpo = — Rpav ~Ь Rap^v ~ R\p&a>
(Напомним, что Ry.av = 0; —Rapx есть тензор Риччи Rapi и при N измерениях б* = N.) Используя правило циклических перестановок индексов (6.6.5) и свойство антисимметрии Rapv, находим
(N-I) Rkpav = Rvpgxa - Rapgkv. (13.2.3)
Но это выражение должно быть антисимметрично и по X и р, а потому
Rvpgha — RapgIv = — Rvlgpa + Rahgpv-Свертывая далее Xhv, находим
Rap — NRap = — RllKgap + Rpa-Таким образом, тензор Риччи принимает вид
Rop = (13.2.4)
Подставляя это в (13.2.3), находим выражение для тензора кривизны
Rxk
R^pav = -^(дг — і) {gvpgto ~ gapghv}- (13.2.5)
Это выражение удовлетворяет соотношению (13.2.1), и ничего более с помощью (13.2.1) мы получить не можем. § 2. Максимально симметричные пространства. Единственность 409
В пространстве, которое изотропно в окрестности каждой точки, выражения (13.2.4) и (13.2.5) будут справедливы везде, и мы можем использовать тождества Бианки, чтобы исследовать зависимость скалярной кривизны R\ от положения. Подставляя (13.2.4) в (6.8.4), получаем
или
1 1 \ J_
дх
(ж-4-)^=0- (13-2-6>
Следовательно, в любом пространстве трех или более измерений, в котором (13.2.4) справедливо повсюду, постоянно. Вместо R\ удобно ввести постоянную кривизны К с помощью соотношения
і?\ == — N (N-I)K. (13.2.7)
Подставляя последнее выражение в (13.2.4), перепишем тензор Риччи и тензор Римана — Кристоффеля в виде
Rap=-(N-I)Kgap, (13.2.8)
Rkpo4 = K {gopgkv — gvpgus}- (13.2.9)
В дифференциальной геометрии пространство, обладающее такими свойствами, называют пространством постоянной кривизны.
Кроме того, в § 7 гл. 6 мы показали, что тензор кривизны в двух измерениях всегда имеет форму (13.2.5), а потому не удивительно, что в данном случае (13.2.6) не позволяет нам сделать никаких заключений о постоянстве Kk^. Однако, используя (13.2.2), можно показать, что величина К в (13.2.9) постоянна и для максимально симметричных пространств с числом измерений N = 2.
Предположим теперь, что даны две метрики g^v (х) и g^lv (х'), обе имеющие одинаковое число положительных и отрицательных собственных значений и обе удовлетворяющие условию (13.2.9) максимально симметричного пространства, т. е.
R\pov = К (gopgXv gvpgko)) (13.2.10)
Rkpov = К (g'opg'xv — gvpgxo) , (13.2.11)
где скалярная кривизна одна и та же в обоих случаях. Покажем, что gIiv (х) и g'\iv (х>) должны быть эквивалентными в том смысле, что существует преобразование х -> х', которое превращает (х) и g'?v (х'), т. е.
(*')^-??== (13-2Л2) 410
Гл. 13. Симметричные простр але тв CL
Докажем это путем реального построения х'* (х) в виде степенного ряда по X*. Прежде всего заметим, что равенство числа положительных и отрицательных собственных значений ^rliv и g^v означает, что можно найти несингулярную матрицу для
которой
g^v (O)^pdv0 = ^pa(O). (13.2.13)
(Обоснование здесь то же, что и в § 4 гл. 6.) Таким образом, мы можем удовлетворить (13.2.12) в нулевом порядке по ж с помощью
х* = d*pxP.
Теперь воспользуемся математической индукцией. Предположим, что нам удалось удовлетворить (13.2.12) в порядке п — 1 по х* полиномом
