Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
а коэффициенты As и Bs—уравнению второго порядка. При переходе от классической электродинамики к квантовой коэффициенты Cs и Cs превращаются в операторы рождения и уничтожения фотонов (піри надлежащей нормировке).
Отметим, что условия ортогональности (88.07) « (89.09) ведут к интересному физическому следствию. Для полей (89.01) и (89.04), возбуждаемых в резонаторе, получаются соотношения
j є E2 dV = 2 A2s J є E2s dV + j є (El)2dV,
j HH^dV = S B2 j jxH^dV+ jn(H')2dV, (89.25)
так что колеблющаяся энергия и колеблющаяся мощность потерь (см. § 7) в резонансном объеме складываются из соответствующих величин для каждого собственного колебания и для продольного поля. В случае пустого резонатора с идеальной стенкой формулы (89.25) можно ,переписать в виде
J \E\*dV=2 |Л5[2 J IEsI2dV+ j lE'lW,
j IH j з = 21 -Ss 13 j" |Hs|2dV+ j \H'\*dV, (89.26)
так что средняя электрическая и магнитная энергия аддитивны.
Чтобы иллюстрировать полученные выше формулы, применим их к простому колебательному контуру. Для квазистатических полей выведенные формулы сохраняют свою силу, причем в качестве поверхности S0 можно взять бесконечно удаленную сферу. На этой сфере удовлетворяются условия (10.06), и все интегралы по S0 исчезают. Действительно, квазистационарное электрическое поле от ограниченной в пространстве цепи убывает не медленнее, чем l/iR2 (закон Кулона), квазистационаїрное магнитное поле — не медленнее^ чем IjR2 (закон Био — С а® ар а). При наличии излучения сравнивать объемный резонатор с контуром уже нельзя.
В колебательном контуре L, С без потерь, обладающем единственной собственной частотой соо= 1/ VLC, электрическое поле 362 определяется зарядом е в конденсаторе, магнитное поле — током J в катушке. Величины / и е связаны соотношением J=deldt, или J = —і сое. При свободных колебаниях с частотой соо и при вынужденных колебаниях с частотой со^=со0 отношения заряда к току различны. Поэтому отношение амплитуд электрического и магнитного полей для вынужденных колебаний иное, чем для свободных. Этот пример показывает, что в общем случае поля электромагнитных колебательных систем следует искать в виде рядов (89.04) с различными коэффициентами Л3 и Bs, которые согласно форму-vie (89.16) близки друг другу лишь при резонансе.
Возбуждение резонаторов и резонансных контуров происходит по одним и тем же законам; различие заключается лишь в числе степеней свободы или, что то же самое, в числе резонансных частот. Переходные процессы в этих системах также происходят одинаково. Напомним, однако, что согласно § 85 резонатор с конечной проводимостью стенок эквивалентен контуру, сопротивление R и внутренняя индуктивность Li которого зависят от частоты (скин-эффект).
Согласно формулам (89.01), (89.03) и (89.07) при возбуждении резонатора наряду с поперечным полем возникает продольное поле. На языке теории цепей это обстоятельство легче всего уяснить, если рассмотреть возбуждение контура модулированным по плотности электронным потоком, проходящим через конденсатор (образованный, например, электродами электронной лампы). Такой поток индуцирует ток в цепи и в этом смысле эквивалентен сторонней электродвижущей силе или стороннему электрическому току. Однако электроны создают в конденсаторе дополнительное электрическое поле, которое выше названо продольным электрическим полем; оно может быть найдено с помощью первого уравнения (89.07) и обычно называется полем пространственного заряда.
В клистронах часто применяются резонаторы, расчет свободных колебаний которых может быть произведен квазистатическим методом (см. § 83). Возбуждение таких резонаторов электронными сгустками можно рассчитывать как по эквивалентной схеме, так и с помощью электродинамической теории.
§ 90. Возбуждение резонаторов: применения и дополнения
Теория возбуждения объемных резонаторов (§ 89) позволяет решить ряд задач, связанных со свободными и вынужденными колебаниями в резонаторах. Некоторые из этих задач будут рассмотрены ниже.
Будем сначала считать стенки (пустого) объемного резонатора идеально проводящими и обозначим через cos собственные частоты такого резонатора, а через Es, Hs — соответствующие поля. Граничные условия Леонтовича (25.04) можно сформулировать
'363 так: конечная проводимость стенок приводит к появлению на них поверхностного магнитного тока
im = — [пЕ] =--— S[n[nH]], (90.01)
4 я; 4я
в первом приближении
Im=--f- HnlnHs]]. (90.02)
Этот магнитный ток является причиной того, что колебания будут происходить не с частотой cos, а с известной пока комплексной частотой со. Подставляя im во вторую формулу (89.10), получаем
К = '—Т~7Г $ I [n InHs]] Hs dS = & с InHsI2 ds. (90.03)
4я Ns J 4я Ns J
Предполагая, что ?=const на поверхности стенок, и пользуясь формулой (88.09), получаем
as=0, Ь,=—1Ф, (90.04)
где величина
D = jHf dV? [пН]2dS (90.05)
совпадает с величиной (85.09). Подставляя выражения (90.04) в первую формулу (89.12), получаем
As=—mst,c/D ((O2-O2s). (90.06)
В этой формуле частота со неизвестна, а коэффициент Л„ обращается в единицу при ^=0, поскольку тогда E=Es и H = Hs. Поэтому при малых ?
