Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что возбуждение происходит на частоте ю электрическими и магнитными сторонними токами je и }т. Предполагается также, что известна полная система собственных волн бесконечного волновода при частоте со, причем через Es, Hs обозначается электромагнитное поле s-й собственной волны, распространяющейся в положительном направлении оси 2 (ось волновода) с волновым числом hs, а через E_s, H_s — поле такой же волны, но распространяющейся в отрицательном направлении с волновым числом /i-s = —hs (см. § 75). Обозначим через
Ers = Es+#sE_s, H^s= Hs+-.RSH_S (91.01)
электромагнитное поле s-й волны, набегающей на поперечную перегородку Z = I и отражающуюся от нее (с известным коэффициентом отражения Rs), а через
Er_s= E-S+tf-sEs, Hr_s = H_s+iR-sHs (91.02)
поле s-й волны, распространяющейся в отрицательном направлении оси Z и отражающейся (с коэффициентом отражения R-s) от поперечной перегородки 2 = 0.
Электромагнитные поля (91.01) и (91.02) удовлетворяют уравнениям поля и граничным условиям на боковой поверхности резонатора и на одном из его оснований: поле (91.01) — при z = l, поле (91.02) — при 2 = 0. Пусть источники поля расположены при 2i<2<22, где 2i>0, a z2<.i Тогда три z2<z<l возбуждаемое ими поле естественно искать в виде
E = ^Cs E^, H = SCsHL (91.03)
'369 а при 0<2<гі — в виде
E = 2C_sEr_s, H = 2C-sEr_s, (91.04)
где C8 и C-S — неизвестные пока (постоянные) коэффициенты. Их нетрудно определить, если воспользоваться условием ортогональ-
ности
J {[Es Hsr'] - [ЕР НИ} Ы5 = О при S' s, (91.05)
непосредственно вытекающим из формулы (75.10). Повторяя все выкладки § 76, получим
Cs = — f ( Г Els-Jm His) dV, Cs = — f ( Г Er-Г Hr) dV,
К NS
(91.06)
где интегрирование производится по всему объему, занятому источниками, а через Nrs обозначено выражение
NrS = — Г {[е; His] - [Els Hsr]} I ds. (91.07)
4л J
Пользуясь формулами (91.01) и (91.02), легко получаем соотношение
Nrs=(I-RsRs)Ns, (91.08)
в котором Ns означает норму бегущей волны в волноводе, определенную формулой (75.11).
Рассмотрим теперь резонанс в цилиндрическом объеме. Согласно формулам § 89 резонанс проявляется в том, что резонансный знаменатель со2—Co2s или со—cos обращается в нуль или принимает малые значения, вследствие чего соответствующие коэффициенты As и Bs (или Cs) становятся большими. В новом варианте теории возбуждения резонаторов большие значения коэффициентов Cs и Cs достигаются при резонансе за счет того, что норма Nrs становится малой. В качестве примера рассмотрим идеальные резонаторы § 81; так как волны полностью отражаются от сечений 2=0 и z = l, то
Я_ = 1, Rs = e{ 2hS1 (91.09)
и
1 — RSR-S=l—Zi2h*' =— 2ieiA*' sinM. (91.10)
На резонансной частоте имеем (см. § 81) sin hsl=0, и выражение (911.08) обращается в нуль.
Не следует удивляться тому, что вынужденные колебания объемных резонаторов допускают двоякую математическую трактовку. Еще на первом этапе развития математической физики оказалось, что решение задачи о свободных колебаниях струны, закрепленной на концах, можно получить как в виде разложения в
'370 ряд Фурье, т. е. в виде разложения по собственным функциям струны (решение Даниила Бернулли), так и путем анализа бегущих и отраженных волн (решение Даламбера). Решение задачи о вынужденных колебаниях струны также можно найти двумя различными способами, которые, разумеется, приводят к эквивалентным результатам.
Струна является простейшим примером системы с бесконечным дискретным спектром собственных частот — механическим резонатором. Решение задачи о вынужденных колебаниях электромагнитного резонатора, данное в § 89, аналогично решению Бернулли, а решение, полученное в этом параграфе, соответствует методу Даламбера.
Коэффициенты Rs и R-S в формулах, полученных выше, могут по абсолютной величине быть меньше единицы (при 'вещественных значениях hs) вследствие поглощения в сеченияіх г = 0 и z = l, а также вследствие излучения через эти сечения. Например, при z = l может быть слегка прозрачная стснка, отделяющая рассматриваемый резонатор от волновода; в последнем возбуждается уходящая волна, однако она в выражении для нормы Nrs и в других формулах не фигурирует. Этот пример показывает, что в открытых системах излучаемое поле не дает существенного вклада в норму (см. § 77 и конец § 90).
Задачи к гл. XVI
«
1. Рассчитать возбуждение колебательного контура из последовательно соединенных элементов L, С, R, не зависящих от частоты, сторонней электродвижущей оилой &; последнюю учесть как сторонний электрический так с плотностью je = oEe (см. § 3). Сравнить полученный результат с известной формулой для тока
7 = iw<§f/L(co2—cu2o + 2iaw), (а)
где Wo и а определяются выражениями (85.17).
Решение. Согласно формуле (89.10) получаем (при s= 1)
I^ W с ш
O1= — f CT EeEidV= -- f EeCT(CO1) E1^K=: -- % J1, b1 = 0,
1 N1 J 1 W1N1 J W1 JV1
где J і—ток при собственных колебаниях контура; со і — частота этих колебаний. Подставляя выражение для at в формулу (89.12), получаем '
