Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
'380 Будем считать, что источники электромагнитных полей — в полупространстве z<0 (верхнее полупространство). В качестве источников можно взять сторонние электрические и магнитные токи, однако в формулировку принципа двойственности входят не источники, а создаваемые ими первичные поля, т. е. поля, которые были бы при отсутствии пластинки и экрана, в безграничном пустом пространстве. Первичное поле в 1-й задаче мы обозначим через E0I, H0I, во 2-й задаче — через E02, H02.
Теорема двойственности утверждает, что если первичные поля удовлетворяют соотношениям
E02 = -H01, H02=E01, (94.01)
то полные поля E1, H1 (в 1-й задаче) и E2, H2 (во 2-й задаче) связаны между собой в нижнем полупространстве г>0 следующим образом:
E2=H1-H01, H2 = — (E1—E01). (94.02)
Теорему двойственности проще всего доказать, опираясь на теорему единственности (§ 10) для нижнего полупространства 2>0. В области 2>0 источники отсутствуют, поэтому в 1-й и 2-й задачах поля определяются тангенциальными составляющими Et илй Hi при 2 = 0 однозначно. Электромагнитное поле 1-й задачи в плоскости 2 = 0 удовлетворяет следующим граничным условиям:
Eu = 0 «а s, Hut-H01,t на S, (94.03)
а электромагнитное поле 2-й задачи — условиям
E24 = 0 на S, H2,t = H02tt на s. (94.04)
Условия для магнитных полей в формулах (94.03) и (94.04) следуют из соотношений
Hu-H0ut = 0 на S, H2J-H02tt = O на s. (94.05)
Иначе говоря, поверхностные токи, текущие по плоскому экрану, создают на геометрическом продолжении экрана (где токов уже нет) магнитное поле, нормальное к плоскости экрана. Этот результат можно получить без всяких вычислений, если рассматривать магнитное ,поле на продолжении экрана как наложение полей элементарных электрических диполей, поскольку каждый элемент площади экрана, обтекаемого током, можно на конечном расстоянии от него считать элементарным диполем. Как известно, магнитное поле такого диполя перпендикулярно его оси и перпендикулярно радиусу-вектору, соединяющему диполь с точкой наблюдения, поэтому суммарное магнитное поле удовлетворяет соотношениям (94.05).
Пользуясь соотношениями (94.01), можно переписать условия (94.03) для поля 1-й диффракционной задачи в виде
-(Ellt-E0u) =H02it на s, Hut-H0ut = O на S, (94.06)
откуда следует, что поле E2, H2, вычисленное -по формулам (94.02), Удовлетворяет граничным условиям (94.04). Согласно § 18 это
'381 поле удовлетворяет в области z>0 уравнениям Максвелла. Поэтому формулы (94.02) дают (единственное) решение 2-й диф-фракционной задачи, если Eb Hi есть поле в 1-й задаче. Тем самым теорема двойственности доказана.
Если в 1-й и 2-й задачах мы рассматриваем диффракдию плоских волн, то согласно формулам (94.01) эти волны должны иметь взаимно перпендикулярную поляризацию. Если же идет речь о диффракции волн, создаваемых токами jej и jmi (в 1-й задаче) и je2 и jm2 (во 2-й задаче), то эти последние должны быть связаны соотношениями
Je2 Z=-Jmb Jm2 = Je1, (94.07)
Действительно, первичные поля E0s, H0s (s=l и 2) удовлетворяют во всем пространстве уравнениям
rot Е° = ik Hs0- ]», rot H0 = — IkW+ — je. (94.08)
1 ъ с S S ScS
В силу теоремы единственности для бесконечного пустого пространства при выполнении условий (94.07) соотношения (94.01) автоматически удовлетворяются.
Заметим, что принцип двойственности справедлив как для монохроматических, так и для произвольных электромагнитных процессов, поскольку в его формулировке зависимость ОТ временк не фиксируется.
Формулы (94.02) показывают, что полное поле во 2-й задаче связано с вторичным полем 1-й задачи. Этот результат становится ясным, если в 1-й задаче взять диффракцию плоской волны на конечной пластинке, а во 2-й — на конечном отверстии. Поле, проникающее в нижнее полупространство z>0 во 2-й задаче, имеет характер сферической волны, расходящейся от отверстия; его можно сопоставить лишь со сферической волной, возбуждаемой пластинкой в il-й задаче, т. е. с вторичным полем в нижнем полупространстве, куда проникает падающая плоская волна.
Если на 2-й диффракционной задаче в качестве отверстия s взять узкую щель (конечной длины), то 1-я задача будет соответствовать диффракции на узкой ленте. Можно показать, что в электродинамическом отношении лента ширины b (предполагается, что b мала по сравнению с длиной ленты I и длиной волны л) эквивалентна отрезку цилиндрического провода диаметром Ь/2 (см. конец § 68). Таким образом, принцип двойственности устанавливает связь между теорией щелей в плоском экране и теорией вибраторов, кратко затронутой в § 36. Поэтому принцип двойственности послужил исходным пунктом для развития теории щелевых антенн.
Из теоремы двойственности вытекает следующее элементарное следствие: электрическое поле на узкой щели направлено поперек нее. Действительно, ток может течь лишь вдоль тонкого ленточного проводника и, следовательно, вторичное магнитное поле на проводнике направлено поперек; поэтому на дополнительной щелй
'382 электрическое поле является поперечным, в соответствии со сказанным в конце § 74.
