Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
eikR
(j) -K00dS = 0 внутри S.
S R
(92.03)
Френелю не удалось дать убедительного обоснования тому или иному выбору функции К и отсутствию волны, бегущей назад. К счастью, оказалось, что результаты вычислений по формуле (92.02) практически почти не зависят от конкретного вида функции К. Достаточно считать, что для излучения прямо вперед (в направлении распространения первичной волны) K=Ko, а при наклонном излучении |/(| уменьшается.
В элементарном изложении физической оптики анализ лоля по формулам (92.01) или (92.02) производится с !помощью зон Френеля или спирали Корню. Более точное вычисление требует применения специальных функций (интегралов Френеля, см. § 79), к которым приближенно сводятся выражения (92.01) и (92.02). Принцип Гюйгенса — Френеля позволяет дать расчет диффракциоп-ных явлений, возникающих при наличии экранов и других непрозрачных тел. Если, например, сферическая волна от источника Q проходит через отверстие в экране (ом. рис. 119,6), то при элементарном изложении поле в точке вычисляют как результат действия зон Френеля (или их частей), не закрытых экраном. іПри более точном подходе интегралы (92.01,) и (92.02) вычисляются для поверхности 5, затягивающей отверстие в экране и далее продолжаемой по его теневой стороне, где приближенно принимают Ф°=0. Тем самым принцип Гюйгенса —• Френеля позволяет свести задачи диффракции к ,расчету интерференции волн, иопуекаемых вторичными источниками и имеющих известную амплитуду и фазу.
Дальнейшее уточнение ,принципа Гюйгенса принадлежит Кирхгофу, который дал строгую формулировку принципа Гюйгенса, основываясь на волновом уравнении. Принцип Гюйгенса—Кирхгофа для монохроматических колебаний имеет вид
Он выражает значение функции Ф в точке P через значения этой функции Ф и ее нормальной производной дФ/дп на поверхности S. Формула (92.04) является следствием волнового уравнения для монохроматических колебаний (уравнения Гельмгольца)
Цринщш Гюйгенса в формулировке Кирхгофа представляет собой существенный шаг вперед. Если брать интеграл (92.04) по замкнутой поверхности S и подставлять в него истинные значения Ф и дФ/дп на поверхности, то этот интеграл во всех случаях дает правильное поле вне поверхности S и нуль внутри нее. Кроме того, оказывается, что интеграл (92.04) можно приближенно преобразовать в интеграл (92.02), причем функция К определяется однозначно. В современной теоретической оптике приближенное решение диффрак-щионных задач производится почти исключительно с помощью принципа Гюйгенса — Кирхгофа. Приближенный характер получаемых результатов связан
Ф =
J_ 4я
(92.04)
ДФ+?2Ф = 0.
(92.05)
'374 лишь с тем, что в интеграл (92.04) подставляются приближенные значения Ф° и дФ°1дп.
Более подробное изложение данных' вопросов можно найти в любой книге по физической (волновой) оптике. Сказанное выше является лишь историческим введением к электродинамическому принципу Гюйгенса, которому будет посвящено дальнейшее изложение.
При формулировке принципа Гюйгенса в электродинамике нужно иметь в виду, что электромагнитные волны в общем случае нельзя характеризовать скалярной функцией Ф: это возможно лишь для продольных (скалярных) волн, например для звуковых. Строго говоря, в оптике нельзя описывать световые волны скалярной функцией Ф. Однако поперечный (векторный) характер электромагнитных волн в большинстве оптических ^иффракционных задач не проявляется, и поэтому скалярная теория диффракции оказывается достаточной. Наоборот, поляризацию радиоволн игнорировать нельзя. Поэтому рассмотрим векторную электродинамическую формулировку принципа Гюйгенса.
Электродинамический принцип Гюйгенса формулируется для замкнутой поверхности S (рис. 120), охватывающей источники поля. Электромагнитное поле в точке наблюдения Р, расположенной вне поверхности S, может быть выражено как результат сложения волн, излученных вторичными источниками, расположенными на поверхности S. Если же точка наблюдения P находится внутри поверхности S, то электромагнитное поле, порождаемое этими вторичными источниками, равно нулю: там поле определяется истинными (первичными), а не вторичными источниками.
Обозначим через Е, H поле вторичных источников, расположенных на поверхности S. Это поле совпадает с истинным полем лишь вне S, а внутри S тождественно исчезает. Таким образом, поле Е, H терпит скачок на поверхности S, что эквивалентно наличию на ней поверхностных электрических и магнитных токов с плотностями
ie = — [пН°], im=--— [пЕ°], (92.06)
4л 4л
где п — нормаль к поверхности S, направленная в сторону области, занятой полем (в § 25 и 74 нормаль п имела противоположное направление), E0 и H0 — фактические значения поля на поверхности S. Поверхностные токи (92.06) являются теми вторичными источниками, о которых говорится в принципе Гюйгенса.
Электродинамический принцип Гюйгенса получится в явной форме, если выразить поле Е, H в точке наблюдения P вне S через поверхностные токи (92.06). Если имеются не поверхностные,
'375
Рис. 120. Поверхность S, точка наблюдения P и источники поля Q в формулировке принципа Гюйгенса а объемные токи с плотностями je и jm, то электромагнитное поле, возбуждаемое ими в безграничном пустом пространстве, находится интегрированием уравнений (17.14). Это поле выражается через электрический и магнитный векторные потенциалы (17.16). Интересующее нас поле возбуждается поверхностными токами, поэтому введенные в § 17 векторные потенциалы Ae и Am принимают •вид
