Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 93. Диффракция на отверстии произвольной формы
Рассмотрим излучение из отверстия, ограниченного плоской замкнутой кривой С (рис. ІІ21), лежащей на плоскости Z=0. Проведем поверхность 5 через плоскую площадку — часть плоскости Z = 0, ограниченную кривой С. Зададим на этой площадке S0 тангенциальные поля E0x, E0y, H0x и H0y и будем считать, что на поверхности, дополняющей эту площадку до замкнутой поверхности, поля равны нулю. Если взять ось 2 в направлении нормали п, то формулы (92.08) примут вид
1 pikR і -іkR
At = -— \ -— т dS, А™ = — • Г -— El dS,
х 4л і R у х 4 л I R у
Oo Oo
1 pi kR і р IkR
Al= — Г -— rnds, А™ = — — С -— El dS, (93.01)
у 4л ^ /? * " 4л і A
Oo Oo
a Aez=Amz=0. Выберем начало координат (x=y = z =0) на площадке S0. Обозначим временно через х, у, z координаты точки наблюдения Р, через г), 0 — координаты точки на площадке S0 (точки истока). Расстояние между этими точками
R= Vix-I)2+ (у-ц)2 +г2 = Vx2 + у2 + г2- 2(х l+yr\)+? + г).
(93.02)
Введем обозначения
г = Vx2 + y2 + z2, р = KF+тГ2, cos Q = (XI + у у]) I г р, (93.03)
где г и р суть радиусы-векторы точки наблюдения и точки истока соответственно, т. е. их расстояния от начала координат, a Q — угол между этими радиусами-векторами.
Расстояние R можно записать в виде
R= Vr2- 2rpcos?+p2. (93.04)
Если нужно найти электромагнитное поле на больших расстояниях от излучающего отверстия, то, считая г достаточно большим, будем иметь
R = г ^r = r_p cos Q + -el ^-L — Cos2Q ^ + ....
(93.05)
'378 где радикал разложен в ряд по степеням отношения р/г. Так как отверстие S0 имеет конечные размеры, то радиус-вектор р не превышает некоторого максимального значения рmax- ЕСЛИ ВЫПОЛНЯеТСЯ уСЛОВИЄ
max, то в интегралах (93.01) можно заменить 1IR просто на 1/г и вынести 1 Ir за знак интеграла. Если далее выполняется условие
kPlaJr < (93-06)
то в экспоненту eifeH можно подставить выражение
kR = kr—kp cos u,
Рис. 121. Произвольное отверстие в плоском эк-(93.07) ране
после чего выражения (93.01) примут вид
і kr
Ae = — -— f e~ikp с°3 й H0 dS, А"
Х Att Г J У Х
е
4 лг Jkr 4я г
Akr
^e = е " Г е—ійр cos ?2 dg Дт _ _J;_ Г g—ikp cos ?
4ттг J x ' у a J
Anr
Iikr
Anr
Г e-iftp cos Q ?0 dS J У •
E4S. (93.08)
Выражения (93.08) показывают, что отверстие S излучает сферическую волну, зависящую от г по закону Qikr/г. Для вычисления диаграммы направленности этой волны удобно ввести сферическую систему координат г, ф. Декартовы координаты точки наблюдения X, у, Z выражаются через сферические координаты в виде
X = T sin Ф COS ф, y = r sinft Sin ф, Z = TCOS^,
причем направление прямо вперед (вдоль оси z) соответствует значению § = 0.
Векторные потенциалы (93.08) имеют в сферической системе координат составляющие
Ar=Ax sin Ф cos ф+Av sin Ф sin ф,
(93.09)
=Ax cos cos ф+Ay cos ft sin ф, Лф =—Ax єіпф+Лу cos ф.
Подставляя эти составляющие в формулы (93.08), приходится пользоваться представлением основных операций векторного анализа в сферической системе координат. Формулы § 19 дают
1 0 (sin<M<>) + —|— ; (93.10)
divA= — — (гМг) +
г2 Лг г sin O OO
gradr Ф =
f дг дФ дг
, TotrA =
1
г sin д
_д_
1
grad<> Ф = — I^- , rot* A= .
гост г sin и
г sin o 0ф (sin # Av)-
дц>
dJ^-JLirsinVA)
д ф дг
'379 gradq, Ф =
1 дФ
,Totq5A=-L ±{гАь)-д-Л , (93.11)
г дг д ¦&
rsin o д ф
где А — произвольный вектор, Ф — произвольный скаляр.
.При расчете электромагнитного излучения в дальней зоне, при к>г-+оо эти операции упрощаются: а именно, если АиФ зависят от г по закону eiftr/ir, то приближенно можно написать
div A= ik A1.,
rotr A=O, Tote. A= — ik Ар, rottp А = ik Aft,
где выражения, пропорциональные 11{kr)2, заменены нулями.
С помощью соотношений (93.12) формулы (92.09) преобразу ются к виду
Eb = H„ = ik (Al +A" ), E9= -Ht=ik(A°-A%)§ (93.13) a Er = Hr = 0.
Полученные выражения являются, как уже отмечалось, приближенными и применимы к непрозрачным экранам любого вида (в оптике, например, рассматривают абсолютно черные экраны). Если же экран является идеально проводящей плоскостью, то излучение из отверстия в таком экране можно рассчитать — примерно в том же приближении — несколько иначе (см. § 96).
§ 94. Принцип двоЗственности
Принцип двойственности (или теорема двойственности) устанавливает связь между двумя следующими диффракционными задачами:
1. Диффракция на плоской пластинке, которую считаем бесконечно тонкой и идеально проводящей и обозначаем через s (рис. 122,а). Пластинка лежит в плоскости Z=0, остальную часть плоскости обозначаем через S.
2. Диффракция на дополнительном плоском экране S, который также является бесконечно тонким и идеально проводящим и лежит в плоскости z=0. Дополнительный экран имеет отверстие S, точно воспроизводящее по форме и размерам пластинку в 1-й задаче (см. рис. 122,6).
grad, Ф = xk Ф, grade. Ф = 0, grad<p Ф = 0,
(93.12)
S
S
а)
Z
Рис. 122. К формулировке теоремы двойственности: в —плоская пластинка; б — дополнительный экран
