Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Ae =-L Ф \edS, Am = - ф^. im dS, (92.07)
с s R csR
поскольку поверхностные токи можно рассматривать как предельный случай объемных. Здесь S означает поверхность, по которой текут поверхностные токи. Для поверхностных токов, определяемых формулами (92.06), векторные потенциалы
1 с PikR „ 1 г РІАІ?
А = —— § --[пН°] dS, Am =--- § --[пЕ°] dS (92.08)
4я S R 4л S R
и полное электромагнитное поле дается выражениями (17.15):
E=--L (grad div Ae + k2 Ae)—rot Am, (92.09)
і k
H = rot Ae---- (grad div Am + k2 Am).
Это и есть искомое поле вторичных источников (92.06), распределенных по поверхности S. Вторичные источники на каждом элементе dS поверхности S являются элементарными диполями: электрическим диполем с моментом (i/(u)ieG?S и магнитным диполем с моментом (i/<a)imdS. По теореме единственности (§ 10) эти источники возбуждают поле (92.09), которое при R-+-оо имеет вид расходящихся волн и, следовательно, при наличии потерь достаточно быстро исчезает. Тем же свойством обладает искусственно образованное поле, равное истинному полю Е, H вне S, имеющее граничные значения E0, H0 на S и обращающееся в нуль внутри ^S. Согласно теореме единственности последнее поле должно совпадать с полем (92.09), которое, в частности, удовлетворяет условию E=H = O внутри S, т. е. вторичные источники излучают только в одну сторону.
Предыдущий вывод был основан на том, что в формулы (92.06) и (92.08) подставлялись точные значения E0, H0 истинного поля на поверхности S. Посмотрим теперь, что получится при произвольном (приближенном) гадании тангенциальных полей [пЕ°] и [пН°] на поверхности S. Введем в этом случае (чисто формально) поверхностные токи по (92.06) и вычислим векторные потенциалы по (92.07) или (92.08). Тогда вычисленное по формулам (92.09) поле Е, H будет тождественно удовлетворять однородным уравнениям Максвелла
rot E=IJfeH1 rot H = —i?E. (92.10)
'376 Действительно, в этом случае источники отсутствуют всюду, за исключением поверхности S, и уравнения (17.14) сводятся к уравнениям (92.10). На самой поверхности S распределены поверхностные токи, следовательно, имеют место граничные условия
где индексом W обозначены ,поля с внутренней стороны S, а индексом w — с внешней.
Если бы E0t и H0t были точными значениями полей, то получили бы EtM = HtW = Q и EtW = Et0, Ht^=Ht0. В случае же произвольных или приближенных значений Et0, Ht0 поле Е, Н, вычисленное указанным выше способом, удовлетворяет лишь условдям (92.12). Это значит, что вычисленное поле на границе области отличается от данного, а поле внутри S не исчезает. Впрочем, эти нежелательные эффекты невелики, если заданное поле на поверхности S мало отличается от истинного.
Невыполнение условий EtW=Et0, HtW = Ht0 для вычисленного по формулам (92.08) и (92.09) поля при произвольном задании Et0 и Ht0 вполне естественно: эти условия являются в общем случае противоречивыми, так как, например, одно тангенциальное-поле Et0 уже определяет все поле вне S единственным образом (если в формулировке внешней задачи учесть условия на бесконечности, см. § 10). Поэтому на поверхности S можно задать произвольно лишь, например, магнитный поверхностный ток im по формуле (92.06), а электрический поверхностный ток определяется по формуле ie = — [пН], после того, как будет найдено поле 4я
Е, Н, единственность которого доказана в § 10. Таким образом, в формулах (92.06) нельзя задавать произвольно тангенциальные составляющие как электрического, так и магнитного полей, поскольку это может привести к противоречию и отсутствию решения у данной электродинамической задачи. По этой причине формулы (92.08) и (92.09) фактически приводят к вычисленному полю, отличному от заданного (на поверхности S).
Электродинамическая формулировка принципа Гюйгенса, эквивалентная формулам (92.08) и (92.09), была дана впервые Котлером. Интересно, что до Котлера данным вопросом занимался ряд авторов, которые, однако, не смогли получить выражений, пригодных для приближенного решения электродинамических диффракционных задач, В настоящее время принцип Гюйгенса — Котлеіра широко применяется для приближенного расчета электромагнитного излучения из (волноводов, рупоров, отверстий и т. д. Ниже будут приведены примеры таких расчетов.
Во многих книгах (а ранее в работах Котлера и его последователей) вместо формул (92.08) и (92.09) приводятся формулы, связывающие непосред-
[n, Н(2'-Н(1)]=^іе, [п, Е(2)—Е(1)] =--^i1
с с
(92.11)
(92.12)
'377 стаєнно поле Е, H с составляющими E01, Н°(. Однако гораздо удобнее сначала вычислить Ae и Am, а потом дифференцированием находить E и Н. Преимущество такого подхода особенно проявляется в задаче о диффракции на отверстии (см. ниже § 93). Если пользоваться формулами, непосредственно связывающими Е, H с составляющими E°t, H°t, терпящими скачок на краю отверстия, то в этих формулах наряду с поверхностным интегралом (по площади отверстия) нужно учитывать еще линейный интеграл (по периметру отверстия). При использовании формул (92.08) и (92.09) линейный интеграл не нужен; это удрощает расчет и приводит к тем же результатам.
