Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Теория диэлектрических резонаторов более сложна, чем теория объемных резонаторов, поскольку электромагнитное поле в диэлектрике связано с полем в окружающем пространстве. Поэтому колебания такого резонатора, помещенного в свободное пространство или в волновод, сопровождается излучением; в этом отношении он аналогичен открытым резонаторам, рассмотренным в гл. XVII. Однако диэлектрические и объемные резонаторы имеют ряд общих свойств, вследствие чего в этом параграфе будет дано краткое изложение теории диэлектрических резонаторов — сферических и цилиндрических.
Чтобы понять принцип действия диэлектрических резонаторов, необходимо прежде всего выяснить, как поле в диэлектрическом теле удерживается его границей. Для этого вернемся к задаче о падении плоской волны на плоскую границу диэлектрик — пустота со стороны диэлектрика. Согласно § 15 и 21
D COS ф—Ує(1—е sin2<p) Г) "і/є COS ф —~\/l -Є Sin2 ф
yM = - . - . ^2--—-. =T .
COS ф -f- Ує(1-Є Sin2 ф) І/є COS ф "у 1 - Є Sin2 ф
(87.01)
где Ri(\R2) — коэффициент отражения для 1-й (2-й) поляризации при ц= 1. Учитывая, чхо при отрицательности подкоренного выражения мнимая часть квадратного корня должна быть положительной, приходим к предельным соотношениям
Iim R1=-I, Jim R2 = e~i2<P (q> > 0), (87.02)
которые вместе с соотношениями для коэффициентов прохождения (задача 4) показывают, что при е-*-оо граница диэлектрик — 348пустота для поля 1-й поляризации эквивалентна идеально отражающему зеркалу (поле во внешнее пространство не проникает), а для поля 2-й поляризации ситуация сложнее: хотя lim|i?2| = l. но поле выходит из диэлектрика, затухая при удалении от границы экспоненциально (полное внутреннее отражение, см. § 16).
Таким образом, при е»1 граница диэлектрика наиболее эффективно удерживает волну, у которой магнитное поле не имеет нормальной составляющей. Это свойство сохраняется и в случае неплоской границы, как показывает расчет сферического диэлектрического резонатора. Важность условия Hn=0 в общем случае будет показана в конце параграфа.
Обозначим через а радиус диэлектрического шара и положим, в соответствии с § 82 и 84
ї/=і4ір„ (TO)iQn (?, ф) при r<a, U=Bt,n(kr)Qn($, ср) при г>а,
(87.03)
где K=k Ve- Граничные условия приводят к характеристическому уравнению
Vb С (ka) (Ka) = Zn (ka) % (Ka) (87.04)
для электрических колебаний. Если взять в таком же виде функцию V, то получим характеристическое уравнение для магнитных колебаний
У7СП (ka) % (Ka) = С (ka) (Ко). (87.05)
При е^-оо решения уравнений (87.04) и (87.05) ведут себя по-разному, а именно величина ka=Ka/Vz (для умеренных Ka) мала, поэтому в первом приближении можно положить
In (ka) = const/(ka)n, ?n (ka)/C (ka) = —ka/n, (87.06)
после чего уравнение (87.04) принимает вид
г|з„ (Ka) = — (Ка/г) ^ (Ka), г|>„ (Ka) 0 при є оо. (87.07)
Соотношение ^n(Ka) =0 (при г=оо) непосредственно следует из граничных условий U=0 или Er=0 на границе г=а (а также из условий Hv = O или Яи = 0, однако эти условия для магнитных колебаний ставить нельзя, см. ниже).
Уравнение (87.05) после подстановки (87.06) также упрощается:
(Ka) = - (п/Ка) Ipn (Ка), (87.08)
однако здесь правой частью пренебречь уже нельзя, нельзя также ставить піри г=а граничное условие Ht=0 или подобное ему. Это значит, что поле магнитных колебаний, у которых НтФ0, при є> 1 сильнее просачивается через границу диэлектрика.
В теории диэлектрических резонаторов различают «запертые» и «незапертые» колебания. Электрические колебания диэлектрического шара являются запертыми, поскольку при фиксированном Ka и є-^-oo поле вне шара стремится к нулю. Магнитные колеба-
'349ния диэлектрического шара незапертые, при е->-оо поле вне шара (как можно .показать, ,магнитное) остается конечным.
Физически очевидно, что запертые колебания при конечном, но большом значении е обладают большей добротностью. Это можно показать на примере простейших колебаний Emnq и Hmng, а именно при п=1, т=0, 1 (см. задачу 5). Для электрических колебаний Emlq
Qlq = Є5/2/2 v?e(vu = 4,50), (87.09)
а для магнитных колебаний Hmig
?1, = ^/2^(^11=3,14), (87.10)
где Vng есть q-й корень уравнения t|}n(v)=0, а (лпз—<?-й корень уравнения (87.08), если положить Ka=и-
Как уже отмечалось, поле колебания E mnq При Є—OO ЗЗКЛЮ-чено в диэлектрике и наружу не проникает; оно удовлетворяет граничному условию Er=0, которое получается из условия
8AIr=O-O = ?г1г=а+0> (87.11)
справедливого при конечном е, и предположения о конечности Er вне диэлектрика. Поле колебания Emnq при є—оо получается из поля колебания Hmnq в сферическом объемном резонаторе при замене E на H и наоборот; в частности, поле колебания ?оп получается из поля колебания Нои, изображенного на рис. 114.
Заметим, что формулы (87.09) и (87.10) определяют радиационные добротности — затухание колебаний в диэлектрическом резонаторе обусловлено излучением (потеїри в диэлектрике не учтены). При колебаниях Hmlq диэлектрический шар излучает как магнитный диполь, при колебаниях ^mlq — KaK более слабый электрический диполь. Формулы (87.09) и (87.10) показывают, что радиационные добротности убывают с ростом индекса q, когда Vig и Hig увеличиваются; с ростом индекса q ухудшается точность самих этих формул.