Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Закончив рассмотрение диэлектрического шара, перейдем к произвольному диэлектрическому объему V, в котором 1 и H= 1. Положим E = F/Ve, тогда уравнения Максвелла примут вид rot F=—i/CH, rot H = ii(F в объеме У;
rot F=—i/CH, rot H = i/CF/s вне объема У, (87.12)
где K—k і/є. При 1 правую часть последнего уравнения можно заменить нулем; исключая F, для H получаем уравнения
АН+/С2Н=0 в объеме У, rotH=0 вне У (87.13)
вместе с дополнительным'соотношением div Н=0.
Уравнения (87.13) позволяют ответить на вопрос: при каких условиях реализуются запертые колебания, аналогичные колебаниям Emnq в диэлектрическом шаре и имеющие такие же высокие добротности? Запертым колебаниям в пределе е=оо соответствует нулевое поле H вне У, а для этого на границе S объема У должно выполняться граничное условие Н=0, т. р должно быть
'350 как Ht = 0, так и Hn=0. Действительно, на поверхности 5 непрерывны все составляющие Н, и если вне объема V поля H нет, то на 5 должно быть H=O.
Чтобы найти запертые колебания, будем рассуждать так. Для любой замкнутой поверхности 5 существует система собственных колебаний, которые внутри S удовлетворяют уравнениям
ДН+/С2Н = 0, div H=O, (87.14)
а на поверхности S — граничному условию Ht = 0. В качестве H можно взять вектор E для колебаний в объемном резонаторе с идеально проводящей границей (см. например § 80—83), заменив k на К¦ Однако при этом, вообще говоря, будет НпФ0 на 5. Лишь при определенных ограничительных условиях, наложенных на форму поверхности 5 и на распределение поля внутри 5, существуют такие колебания, у которых не только Ht=0, но и Hn=0 на S. Это — симметричные колебания в диэлектрических телах, обладающих симметрией вращения, причем магнитное поле таких колебаний имеет единственную составляющую Hff, не зависящую от ф.
Простейший пример такого тела (если отвлечься от рассмотренного выше шара) — диэлектрический цилиндр, который в цилиндрической системе координат г, ф, z определяется неравенствами 0<.r<.a, 0<.z<.l. Запертые колебания в цилиндре также обозначаются символом Eо„,; они получаются из электрического вектора Герца
Щ = CJ0 (gr) Sin hz, g* + h2 = K2 (87.15)
и имеют составляющие
Er = gh CJx (gr) cos hz, Ez = g2 CJ0 (gr) sin hz,
Яф = — і kg є CJ1 (gr) sin hz, Ev= Hr = Hz-=O Если g и h удовлетворяют условиям
J1 (ga) =0, sin hl=0, т. е.
g=\i0Ja, h=qnll, K = kV~b= V(^0Ja)2 + (qn/l)2 (n, q = 1,2, ...),
(87.18)
то соответствующее колебание E0nq в диэлектрическом цилиндре удовлетворяет всем условиям, сформулированным выше для запертых колебаний. Выражения (87.16) показывают, что на поверхности цилиндра En=0 и ?/#0: тангенциальное электрическое поле просачивается наружу, однако оно примерно в є раз слабее магнитного.
Вычислить радиационную добротность колебания E0nq, равно как исследовать незапертые колебания,довольно трудно, поскольку при этом надо рассматривать также поля вне диэлектрического резонатора, что требует применения численных методов.
'351
(87.16)
(87.17) Задачи к гл. XV
1. Рассчитать длину волны собственного колебания каждой камеры магнетрона, применяя квазистатический метод. Электродинамическое взаимодействие между камерами не учитывать, задачу считать двухмерной.
Решение. Емкость конденсаторной части равна C=а/г/4л/, где I — ширина зазора; а—его длина; h—высота камеры в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа (предполагается, что в этом направлении поле не меняется). Магнитное поле в индуктивной части камеры такое же, как и в прямой катушке радиуса га. Рассуждая так же, как и при выводе формул (83.02) и следующих за нею, получаем
Bn = Hn = 4nJfch, ^=(2nr0)V/c2h, Le = (2яг„)2/с2/г.
Поэтому длина волны основного колебания Х = 2лгй Vnajl.
2. Исходя из соотношения
div>[EH] = й(Е2+Н2) (а)
для поля свободного колебания в пустом резонаторе, вывести формулу (85.12); при этом выразить поле E через поле H всюду (в объеме и на границе) и отождествить последнее с полем H в идеальном резонаторе. Соотношение (а) является частным случаем соотношения (7.01).
Решение. Интегрируя соотношение (а) по объему резонатора, получаем формулу
? f H2tClS = ik j WdV-(Hk) j (rot H)2 dV, откуда
k=$ (rot H)2 dV/k j H2 dV— \t,fD, D = j H2 dV/ji н\ dS. (b)
Если распределение поля H взять таким же, как в идеальном резонаторе (при ? = 0), для которого k = ko, то соотношение (Ь) примет вид
k = k20fk—\l/D, или k2=k\—iIkfD,
а это в первом приближении по t, приводит к формуле k = k0—іЕ;/2Д эквивалентной формуле (85.12). Выражение (Ь) для D и соответствующее выражение (85.09) несколько отличаются по форме, однако, по существу, совпадают, поскольку для невырожденных колебаний H2 и IHI2 отличаются лишь постоянным множителем, а к вырожденным все эти соотношения неприменимы (см. конец § 86).
3. Продолжая задачу 1, вычислить величину D для каждого отдельного резонатора (камеры) магнетрона, используя как выражение D=VfS, так и выражение Q = UKlLeIR для добротности обычного колебательного контура.
Решение. В данном случае V=nr\h, a S=2nrBh, поэтому D=V/S = r<,/2. Если Le взять из задачи 1, a R вычислить по теории сильного скин-зффекта, пользуясь формулой (86.02), то получим
