Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Исследуем одно из собственных колебаний полости (рис. 109), определяемой неравенствами
0<х<а, 0<y<b, Oczcl, (80.01) т. е. имеющей вид прямоугольного параллелепипеда в ребрами a, b, I. Электрическое поле на стенках полости должно удовлетворять граничным условиям: Ey = Ez=,0 при х=0, х=а\ E2 = Ex== 0 при у=0, у=Ь\ (80.02) Ex = Ey=0 при 2=0, Z=I.
Потерь в полости нет, поэтому каждое из собственных колебаний будет незатухающим. Обозначим через ш круговую частоту одного из таких колебаний и через k — соответствующее ей волновое число в пустоте. Электромагнитное поле собственного колебания найдем, интегрируя комплексные уравнения поля для пустоты с учетом граничных условий (80.02). Вместо этих уравнений можно воспользоваться также уравнениями для электрического поля
ДЕ+/е2Е=0, div Е=0, (80.03)
выведенными в § 14. Первое из этих уравнений показывает, что декартовы составляющие Ex, Ev, Ez удовлетворяют скалярным волновым уравнениям; решая эти уравнения методом разделения переменных (см. § 41), получим следующие выражения:
г, . тлх . пли . ал г
Er= A cos-sin —— sm -— ;
ж а Ь I
г-, г, . тлх пли ¦ длг /оп пл\
Ey = В sm-cos —sm -— ; (80.04)
a b I
г, г, . т пх . пли длг
E=C sm -sm —— cos -— ,
2 а Ь I
где А, В, С — комплексные постоянные; т, п, q — целые числа.
В выражениях (80.04) синусы обеспечивают выполнение граничных условий (80.02), а косинусы поставлены для того, чтобы можно было удовлетворить второму уравнению (80.03) с помощью надлежащего подбора постоянных А, В, С. В самом деле, из выражений (80.04) получаем
,. _ [ т . , п п , <7/-Л„: тпх . ппу . апг п
div E = —я —A-J--В+ — С I sin — sin -2-sin— = 0,
\ a b Ija Ь I
'329
Рис. 109. Прямоугольный объемный резонатор если постоянные удовлетворяют соотношению
— А + — В + -3- C = O. (80.05)
a b I
Подставляя выражения (80.04) в волновое уравнение (80.03), находим соответствующее значение волнового числа
k = я У (т/а)2 + (nib)2 + (q/l)2, (80.06)
а с помощью формулы H = rotE/i& получаем распределение магнитного поля
1Т л ( п ^ q г)\ . mnx ппи qnz
Hr = - - С--? sin - COS —COS і— ;
x ik \ b I ) a b I
it л / q . m mnx . tiny qnz ,or,
Hu= — — A--C cos-sin —- cos i— • (80 07)
y ik \ I a j a b I ' v • /
Hz= (JUb-^-A) cos cos r^-sin ^ . і k \ a b j a b I
Таким образом, для каждой тройки чисел т, п, ц получено решение уравнений поля, определяемое формулами (80.04) и (80.07), и имеющее волновое число (80.06). Это значит, что каждой тройке чисел соответствует собственное колебание, имеющее собственную частоту / и собственную длину волны К:
f = (с/2) V(m/a)2 + (n/b)2 + {qll)2, A = 2/V (т/а)2 + (n/bf + (qll)2.
(80.08)
Если среди чисел т, п, q нет нулей, то такой тройке чисел соответствуют два собственных колебания с одной и той же частотой, но с различной структурой поля. Действительно, в формулах для полей имеется две произвольные постоянные, скажем А я В, поскольку третья постоянная (С) выражается через А и В в силу соотношения (80.05). Полагая A= 1, 5=0, получаем одно электромагнитное колебание, а при A=0, B= 1—другое колебание с той же самой частотой, но иным распределением поля.
Если собственной частоте соответствует два или больше собственных колебания, то говорят о наличии вырождения, а данная собственная частота называется вырожденной или кратной. Таким образом, если индексы т, п, q все отличны от нуля, то соответствующая им собственная частота (80.08) оказывается, по крайней мере, двухкратно вырожденной. Если размеры полости a, b, I являются соизмеримыми, т. е. их отношения являются рациональными числами, то возможно вырождение более высокой кратности. Так, например, при а=Ь и тфп частота (80.08) имеет не менее чем четырехкратное вырождение, поскольку тройкам чисел т, п, q и и, т, q соответствует одна частота, но разные поля.
Если к синусам и косинусам в формулах (80.04) применить формулы Эйлера, то получим комбинацию слагаемых вида
eik(ax+?y+vz)t а= ± rnn/ka, ?= ± nn/kb, у = ± qn/kl,
a2+?2 + ?2=l, (80.09)
'330 т. е. согласно § 14 сумму плоских волн, распространяющихся в пустоте. Характерная особенность этих плоских волн заключается в том, что на каждом ребре параллелепипеда каждая из этих волн приобретает дополнительную фазу, кратную л; например, при переходе от х=0 до х=а появляется фазовый множитель e±imJt и т. д. В результате сложения этих бегущих плоских волн возникают стоячие плоские волны (80.04) с узлами тангенциального электрического поля на стенках.
Индексы т, п, q определяют направления распространения плоских волн, на которые разлагается поле собственных колебаний полости. Двухкратное вырождение собственных частот, о котором мы говорили выше, физически связано с тем, что при данном направлении распространения плоской волны ее поляризация может быть произвольной. При сложении плоских волн с одной поляризацией получается первое собственное колебание, при сложении .волн с другой, перпендикулярной поляризацией приходим ко второму собственному колебанию, имеющему ту же частоту.
