Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
s I \ дп дп J
где n — внешняя нормаль к контуру С, ограничивающему площадку 5. Полагая f=A-z, g=U-s и g=Us, беря в качестве 5 область 0CrcR (R>r0), 0<ф<а и учитывая соотношение ортогональности
а а а f sin Vs ф sin Vs' ф d ф = f COS Vs ф COS Vs'ф (Іф =-?s S'(s>s' =
О a 2
= 1,2,
и соотношение (78.03), получаем коэффициенты в разложениях {79.06)
Cs=I-J- U0. C_s = і — J- W . (79.09)
са са
Если же ПОЛОЖИТЬ f=Amz, и то коэффициенты
Cs и C-S в разложениях (79.07) получатся в виде
Cs = і 8s ** Ps, C_s = і es ^ /п, yo (79Ю)
са са
где eo=il/2, єі = Є2 = ... =1, a LJ0s, V0s и т. д. означают, что соответствующая функция берется в точке P0 (при г = го, |ф = ф0). При выводе формул (79.09) и (79.10) существенно, что левая часть (79.08) сводится к интегралу по окрестности точки P0, а правая часть — по дуге г = R, 0<Ф<;а.
Таким образом, нить электрического тока возбуждает в пространстве вне клина электрическое поле с единственной составляющей
Ez= - — J- 2 ЯП) (kr0) Jvs (kr) sin V8 фо sin ve ф, (79.11)
са r=1 з
'317 а нить магнитного тока — магнитное поле с единственной составляющей
Hz=_«L* J m 2 Bs HU, фГо) Jvs {kr) cos Vg фо cos Vs ф (79t! 2),
ca S=O s
Формулы (79.11) и (79.12) применимы при r<r0; при r>r0 надо переменить местами функции и Jv. Все эти формулы анало-
гичны тем, которые получаются в теории возбуждения секториального рупора (см. § 78, їв частности теорема Грина (79.08) есть двухмерный скалярный вариант леммы Лоренца.
Однако при больших значениях kr и kr0 ряды (79.11) и (79.12) сходятся медленно и не позволяют проанализировать диффракци-онные поля. Преобразуем эти ряды, положив сначала ^r0->-оо и воспользовавшись асимптотической формулой (22.12), которую перепишем в виде
нуHkr0) = HtfHkr0) e-'v«/2.
Тогда выражения (79.11) и (79.12) принимают вид
Ez = E0 [и (г, ф—ф0) — и (г, Ф + Фо)],
Hz = H0 [и (г, ф — фо) + и (г, ф + ф0], (79.13)
где
E0=-(TikIc) Je Htf) (krtf), H0= —(nk/c) Jm Htf) (kr0), (79.14)
а
И (Г, X) = — S е_ЧЯ/2 jVs (kr) COS Vs z. (79.15)
а s=0
Согласно § 59 и задаче 4 формула (79.14) определяет поле цилиндрической волны, создаваемой нитью тока, на расстоянии г о от нити. При krQ-+oo эта волна, создаваемая нитью Pо (рис. 106), при конечных kr становится плоской и принимает вид
El= E0e-ikrcos^-<e°\ = Hn e-ikr cos (Ф-Фо), (79.16)
так что выражения (79.13) дают решение задачи о диффракции плоской волны на клине. При небольших kr ряд (79.15) для функции и(г, %) сходится быстро и позволяет вычислить поле вблизи ребра клина. По мере увеличения kr сходимость ряда ухудшается и при больших kr он становится непригодным для расчетов. Преобразуем ряд (79.15) к виду, позволяющему исследовать поле при kr~> 1.
Для этого воспользуемся интегральным представлением (44.15) и переменим местами суммирование по s и интегрирование по г|г, получаем
, JT—Ioo
и (г, XJ=Tl f Jkr Hn*
V.C1 J .
2а -л-
S=I
'318
1 2 е-'^-х+я/г)
S=I
dip Смещая путь интегрирования немного вниз (так, чтобы на нем было 1тя|)<0), суммируя геометрические прогрессии и вводя новую переменную интегрирования т]=—(-ф+я;/2), приходим к выражению
Я/2+ioo
" Х) :
v
2я
-iftr COS Г)
— ЗЯ/2-)-і°°
1-
J_
plvCn+x)
1
1_eiv(-Tl+xJ
d Г],
или
"<'¦*>=5- I
-іkr cos Г)
1_e'v(TH-x)
Л Я
аг), V=Vt= —
(79.17)
где путь интегрирования Crt, состоящий из двух бесконечных ветвей, изображен на рис. 107,а; там же изображен путь D4 , который также состоит из двух бесконечных ветвей, ,проходящих через точки т) = ±я. Такой же интеграл, но по пути Drt обозначим через и,(г, х). Полагая г) = ±я + ? и объединяя интегралы по обеим ветвям Drt , получаем интеграл
і v pifer cos s
О (г, X)= ~ Sinvn Г -5---- d?, (79.18)
О™ J ---------------1
cos vn — cos V (? + %)
где путь Do дан на рис. 107,6.
Поскольку Cv =Dv -Mt,, где контур dv охватывает отрезок —я<т)<я вещественной оси г] и пробегается в отрицательном направлении (іпо часовой стрелке), функции и (г, %) и п(г, %) могут отличаться только на вычеты в полюсах цт=2та—% (т = О, ±1, ±2, ...), попавших на этот отрезок. Поэтому
" (г. X) = f (Л X) + e~ikrcosх при — л<х<я,
и (г, X) = V {г, X) при я<х<2а—я,
и (г, у) = v (г, X) + e-ifcr cos (2а-х> при 2а—я < X < 2а;
других значений х при 0<фо<я и я<а^2я не будет.
(79.19)
-Zix
Рис. 107. Пути интегрирования Ctj, D ^ a D0 (области, где экспоненты иод ин тегралами по абсолютной величине больше единицы, заштрихованы)
'319 Интеграл (79.18), введенный Зоммерфельдом, удается свести к интегралу
1 °° р—Jt р-ія/4с оо „—/V2
V(S)=-L г е dt = е-s г _!-dt (79 20)
і 2л J00 t _ е1"/4 S я Oj t2 — i S2
(для полуплоскости при а = 2я и V= 1/2 — точно, для клина с произвольным углом а — приближенно при 1). Интеграл (79.20) сводится к комплексному интегралу Френеля
— ІЯ/4 SOo
V (S) = e-is2/2 ?__ г qit2/2 (79 21)
V 2я sJ
верхний предел которого равен оо при s>0 и —оо при s<0 (см. задачу 6).
