Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Собственные колебания, у которых один из индексов равен нулю, занимают особое положение. Так, например, тройке чисел т, п, 0 соответствует электромагнитное поле
г. уо . тлх . ппи J1 пп . тпх пли /orv , п.
Ez = C sin-sin —- ,Hx = — С sm-cos —— , (80.10)
ab і kb ab
Ятя /-. тпх . ппи с г? и г\
,,=--С cos- sin —, E^ = Ev = Hz = 0,
і ka a b
автоматически удовлетворяющее второму уравнению (80.03). Если в нуль обращаются два индекса, то поле тождественно исчезает и такие тройки индексов собственных колебаний не дают.
Электромагнитное поле (80.10) колеблется с собственной частотой
/= (с/2) (т/а)2 + (п/Ь)2. (80.11)
Эта частота может быть невырожденной, поскольку тройке чисел т, п, 0 соответствует лишь одно собственное колебание (80.10), которое зависит от единственной постоянной С, определяющей его амплитуду.
Простейшее колебание в полости получим при т=\, п= 1, <7=0. Это колебание 110 имеет частоту
f = (с/2) К(1/а)2 + (1/й)2. (80.12)
Если выполняются условия а>1, Ь>/, то эта частота будет наименьшей среди всех частот (80.08), притом невырожденной.
Колебание резонатора называется основным колебанием, если оно имеет наинизшую собственную частоту. Колебание 110 является (гари условиях а>1, Ь>1) основным колебанием прямоугольного резонатора и широко применяется на практике. Структура электромагнитного поля этого колебания изображена на рис. 110: электрические силовые линии образуют пучок прямых, параллель-
'331 Рис. 110. Колебание 110 в прямоугольном резонаторе
ных оси г, наиболее густой при X=а/2, у=Ь/2, а магнитные силовые линии охватывают этот пучок замкнутыми кольцами неправильной формы. Легко показать, что форма магнитных силовых линий та же, что у волны Ец в прямоугольном волноводе (см. рис. 35), да и само колебание 110 можно назвать колебанием ?щ> (см. § 81).
В заключение отметим следующую особенность формул (20. IOJs в выражения для магнитного поля входит множитель ±i, отсутствующий у электрического поля. Это значит, что магнитное поле находится в квадратуре с электрическим, т. е. сдвинуто по фазе на ±л/2. Возвращаясь от комплексных амплитуд к мгновенным значениям полей с помощью формул (2.01), видим, что при некоторых t электрическое поле исчезает во всем объеме резонатора, а магнитное поле при этом принимает максимальные значения (по абсолютной величине); через четверть периода исчезает магнитное поле, а электрическое достигает максимума и т. д. Таким образом, при собственных колебаниях электромагнитная энергия дважды за период является чисто электрической и дважды чисто магнитной, причем происходит непрерывный переход энергии из электрической формы в магнитную и наоборот. Те же энергетические процессы происходят при свободных колебаниях обычных резонансных контуров L, С, а также других объемных резонаторов без потерь, рассмотренных ниже в § 81 и 82. При наличии потерь разность фаз E и H уже не равна ±я/2 (см. § 84 и 85).
§ 81. Цилиндрические резонаторы
Цилиндрическим резонатором в общем случае называется отрезок волновода, ограниченный двумя металлическими поперечными стенками Z=Const. Рассмотренный выше прямоугольный объемный резонатор есть частный случай цилиндрического резонатора, поскольку его можно получить из прямоугольного волновода введением поперечных закорачивающих стенок при z=0 и z=l. Цилиндрический резонатор в узком смысле образован конечным отрезком круглого волновода, заключенным между двумя поперечными перегородками — основаниями кругового цилиндра (рис. 111).
Теорию собственных колебаний цилиндрического резонатора (при произвольной форме его поперечного сечения) можно развить, опираясь на теорию волн в волноводах с соответствующим поперечным сечением. Если основания цилиндрического объема имеют координаты z=0 и z=l, то следует рассматривать электро-332 магнитное поле при 0<z</, причем оно должно удовлетворять граничным условиям
Ex=Ey=O при z=0 и z=l (81.01)
и соответствующим условиям на боковой поверхности резонатора. Последние условия удовлетворятся, если взять поле в виде электрической или магнитной волны в соответствующем волноводе, причем для выполнения условий (81.01) лужно, очевидно, брать стоячую волну, а не бегущую.
Стоячие электрические волны в цилиндрических резонаторах получаются с помощью электрического вектора Герца с единственной составляющей IIez=IIe cos hz, где Пе= = Tle (х, у) — та же функция, что и в § 39, a h — соответствующее продольное волновое число. Электромагнитное поле таких волн определяется формулами
Ex = — h sin hz, E11= — h ^-S- sin hz, Ez = g2 Пе cos hz,
x дх u ду
Hx= — ik — cos hz, Hv= ik — cos hz, Hz= 0, (81.02)
ду дх
заменяющими формулы (39.05).
В выражении для IIez был взят cos hz (а не sinfe), чтобы удовлетворить условию (81.01) при z = 0. Соответствующее условие при z=l приводит к соотношению SinW=O, откуда
h = qnl, q = 0, 1, 2, ... (81.03)
При выполнении этих условий формулы (81.02) дают электромагнитное поле собственного колебания, имеющее в пустоте волновое число
