Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Hs,x=f*Hsх, Hs y=fsH sу,
где для затухающих волн /, есть постоянная, абсолютная величина которой равна единице, а для распространяющихся волн /, содержит еще множитель P2lhS1. В обоих случаях соотношение (75.15) можно переписать в виде
j[E, H4',] I dS = O при |s'I * IsI
'322 а соотношение (75.18) в виде
+ Ц [EeHs*] IdS.
В этом случае JV8 отличается множителем =F4/, от комплексной мощности, переносимой S-й волной через сечение 2=0.
2. Подставляя выражения (76.16) и (76.19) в поперечные уравнения (76.14), вывести выражения для производных dCstdz и dC-sjdz. Найти С.(г) и C-,(Z) из начальных условий C4=O при z<zi, C_s=0 при z>z2 (s>0).
Решение. Почленное дифференцирование рядов (76.16) и (76.19) дает тождества
4я
і ш
rot — j:
ml
rot H' + [i?] = -»• * + 2 [ШЯ +?=^ f ш<]} +
, 4я .1 -ег + -— rot— JeS
1 CO 8
подстановка которых в уравнения (76.14) приводит к соотношениям
^!'H^lmL,,) = ^,--
Производные dCJdz и dC-Jdz легко определяются из этих соотношений, если воспользоваться условием ортогональности (75.10). Для этого умножаем первое соотношение скалярно на Hs,, второе — на Es, и интегрируем по всему поперечному сечению Z=COnst. В результате получаем
S (?- J IE, H,.] IiS + J[E_ H,.] І і s} =
---7-1( ^+ITnlT"І"' ? & Ie-' ' ^ + T? JIе-' B,1' 10J =
=jTK
Складывая правые и левые части, пользуясь соотношениями (7.5.10) и (75.11) и полагая поочередно s'>0 и s'<0, приходим к выражениям
"•т-=К( '"-TT-1Tr')'--{^+TTntT rO1^K
И* 323 Полученные интегралы можно упростить, пользуясь теоремой Стакса и тождеством (76.18), например
jf rot у jm< j EgdS= j ? grad у jf, і] Es dS =
= -j[grad-^/™, EsJldS= - Jrot IfE, j IdS +
+ f— if Irot EsdS= —f — jfEsds + ik f /™lHsdS. jH с H j
Бели выполняются условия (при S 5; 0)
Ф— jfEsds = 0, f — /*Hsds = 0, с ц се.
где С — контур, являющийся пересечением цилиндрической поверхности S0, ограничивающей поле (см. § 75), и поперечного сечения Z=COnst, то приходим к соотношениям
j ^rot jm/^Es dS = і k j ]ml Hs dS,
je'jHsdS= — ik j je' Es dS,
позволяющим переписать формулы (а) в более компактном виде
— =— I
dz Ns s
dCS =~ГЇ (fE_s-i™H_s)dS,
X
dC-s
л =-4" f ( SeEs-Jm Hs) dS. dz Ns Sj^v '
Интегрируя при учете начальных условий, получаем окончательно
Ns , s-
X
C_s = -j- Idz JeEs-Г Hs) dS.
Ns І s±
Эти выражения являются более подробной записью формул (76.05). 3. Вывести формулу (77.07).
Решение. Полагая в формулах (41.17) IkgCm = Il получим
Ihz и JL cir, „v Jbz
E1 у = Singx е,пг, Hl x = — — sin gxe
і»,» • Л
tU = sin gx еГіпг, H_l x = ~г singxe
где g=n/a, h= JZr k2—g2. Составляющие встречной волны (s=—1) получаются заменой h на —h. Норма
с г „ „ с h ? ЬГ . J с hab
—5Г J --^Tjjsm,gXlШу= -ЇГТ-
'324 Это выражение дает (с точностью до знака) учетверенное значение мощности, переносимое данным полем через сечение волновода.
Если элементарный диполь находится внутри прямоугольного волновода в точке X = X0, (/ = (/0, 2=0, то формулы (76.01) и (76.02) принимают вид
E = C1E1+ ..., H = C1H1+ ... при z>0,
Е = С_,Е_!+ .... H = C-^1+... ори z<0,
где индексом ±1 обозначена распространяющаяся волна Я10, а многоточия соответствуют всем другим волнам.
Пользуясь формулой (77.02), получим
Ci = C^1 = — (Ante) (k/hab)Jl sin gx0. Активная мощность излучения в каждую сторону
— — с hab it k sin2 PXa
Si = S-I= IC1I" —- — =--
16я k с hab
Мощность 2о, излучаемая диполем в свободное пространство, может быть представлена в виде
I0= -у Ro т2.
где Ro есть сопротивление излучения диполя, определяемое формулой (77.05). Мощность Si может быть также записана в ,виде
Si= ~~ Ri Ula. R1 = (2п/с) (kl SingX0Y-Ikhab.
Отсюда получается формула (77.07) для отношения RiIR0. В обычных условиях отношение RIR0=2RilRo немного превышает единицу, если взять X0 = а/2. Таким образом, диполь в волноводе излучает электромагнитную энергию примерно с той же эффективностью, что и диполь в свободном 'пространстве.
4. Показать, что магнитный вектор Герца, соответствующий прямолинейному магнитному току Jm (нити), имеет единственную составляющую
П™ = — (я lck) Jm Hi01»(kr),
где г — расстояние от нити (параллельной оси г). Для этого вычислить составляющую ?ф вблизи нити (при kr^ 1) я показать, что
Еф=-2/т/сг (а)
в соответствии с формулой (32.07). Вывести формулу (77.18). Решение. По формлам (18.08)
Eqi= —(i nk/c) Jm Я',1' (kr), Hz = — (Kkfc) Jm ' (kr). Поскольку согласно формулам (22.05), (22.08) и (22.11)
Н\х' (kr) « і Ni (kr) »—2 і/я kr при kr « 1 справедливо соотношение (а). Вместе с тем согласно формулам (22.1(2)
?ф = Hz = — (я k/c) Jm V2/nkr еНкг-л/і) при kr» 1,
'325 так что комплексный вектор Умова — Пойнтинга имеет в дальней зоне единственную составляющую
ёг = (с/8п)Е9Н*г = k\Jm\*/4cr
и мощность излучения на единицу длины нити
Sq = ®г 2ят = (як/2с) I Jm 18.
5. Пусть на оси конического рупора (r=r0) іЕ> = 0) расположен радиальный электрический диполь c моментом р. Очевидно, что ioh возбуждает только симметричные электрические волны, которые согласно § 55 будут определяться функцией
