Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
При V= 1/2 интеграл (79.18) принимает вид
j giArcosg
О (Г. X) = — — f -T^T d^ =
4я Я ^ і + X
^o COS -
2
с
і х Я/2-ІОО е ^cos-
,iftr cos t , ¦ ~ і
= — cos -І- j _?_ (79.22)
Л ^O COS t, + COS •/
полагая
t = 2]/Tr е-1"/4 sin y,s=2 ]/&> cos LL . cos S = 1 + і t%l2 kr,
cos X = s2/2 fer—1, приходим ко второму интегралу (79.20), т. е. получаем формулу
О (г> '/:) = У (s) S= 2 COS . (79.23)
Таким образом, при диффракции плоской волны на полуплоскости поле в любой точке, первоначально заданное в виде ряда (79.15), согласно формулам (79.13), (79.19) и (79.23) выражается через комплексный интеграл Френеля (79.21). При произвольном угле а интеграл (79.18) можно записать в виде
і V - е1*'«^ ^ „ C0S 2
о (г, X) = ii-sinvn J F(S + x) dl, F(I) -
2я Д L + у " cos vir — cos vE
D„ coS Ь_1_А b
2
(79.24)
где функция Fi(|) остается конечной при ? = л. Если мы интересуемся функцией и (г, %) при kr~^> 1, то надо учесть, что в интеграле (79.24) существенна окрестность точки ?=0 (это видно, если от переменной % перейти к переменной t, введенной выше), а тогда 320, можно заменить на F (%), в результате чего приходим к асимптотическому выражению
COS —
»(М)= 2 V sin vn --- V (S) eikr, (79.25)
COS v% — cos vn
принадлежащему Паули и при v= 1/2 переходящему в точную формулу (79.23).
Полученные формулы применимы и при а^п (т. е. при v^ 1), однако при уменьшении а число полюсов Tjm на отрезке —л<.ц<я увеличивается и появляются новые плоские волны, ,не учитываемые формулами (79.19). Интересно отметить, что при целочисленных V функция V тождественно обращается в нуль и точное решение сводится к сумме конечного числа плоских волн: двух при а=п, четырех при а=я/2, шести при а=я/3 и т. д. Если возвратиться к светящейся нити, то при а= л в результате отражения возникает еще одна нить (см. § 77 и рис. 103), при а=л/2 — три новые нити, при а=л/3 — пять и т. д. Таким образом, в этой двухмерной задаче о возбуждении секториального рупора точечным источником ряд по рупорным волнам при V=I, 2, 3,... тождественно равен сумме конечного числа цилиндрических ВОЛН, определяемых функцией H^o(kR).
Подведем итоги. Ряды (79.il 1), (79.12) и (79.15) представляют поле в виде суперпозиции цилиндрических волн. Интегралы (79.17), (79.18) и (79.22) дают представление того же самого поля в виде суперпозиции плоских волн, причем эти интегралы сводятся к интегралам Френеля, изученным в классической теории диффракции и хорошо табулированным. В результате проведенных преобразований получены формулы (79.13), (79.19) и (79.25), имеющие следующий физический смысл:
1. Если в формулах (79.19) пренебречь функцией v(r, %) и подставить разрывные функции и>(г, <р±фо) в выражения (79.13), то получается геометрооптическое решение данной задачи — падающая волна (79.16) частично затеняется клином (при фо<а— —я) и, кроме того, возникает полубесконечная волна, отраженная от грани ф = 0 (рис. 108,а), при а—я<фо<л обе грани освещены падающей волной, тени нет, но зато имеются две отраженные плоские волны (рис. 108,6). Различные знаки перед и (г, ф + -Ьфо) в выражениях (79.13) объясняются тем, что R =— 1 для Ez и R=I 1 для Нг (см. § 24).
2. Функция V (г, х) обеспечивает непрерывность полного поля. Например, если 0<ф0<а—я, как на рис. 106,а, то геометрооптическое поле терпит скачок при ф = я+фо, который компенсируется скачіком функции v(r, %) при %=п. Таким образом, функция v, выражающаяся через комплексный интеграл Френеля, определяет поправки к геометрической оптике, обусловленные диффракцией.
3. Вдали от направлений, где функция v (г, %) терпит скачок, она имеет (при kr^> 1) характер цилиндрической волны, расходящейся от ребра клина; это видно из формулы (с) задачи 6. Цилиндрическая волна проникает в область геометрической тени (об-11—240 321 а — волна освещает только грань Ф-0; 6 — волна освещает обе грани; затушеваны переходные зоны, где функция V не является цилиндрической волной (т. е. где Ul S ? 1 н |«| ~ 1 при hr» 1)
Рис. 108. Поля, возникающие при падении плоской волны на клин, согласно геометрической оптике:
ласть ф>л + фо на р,ис. 106,а), а там, где имеются плоские волны, — 'накладывается на них.
Способ, примененный выше, позволяет также решить задачи о клине с цилиндрической насадкой и о круговом цилиндре в свободном пространстве (ср. конец § 78 и рис. 105), решение строится р виде разложения но цилиндрическим волнам, как в формулах (79.ІІІ) и (79.12). Такие разложения пригодны для расчетов при умеренных значениях ka (а—радиус цилиндра), при 1 их приходится преобразовывать, однако на этом вопросе мы здесь останавливаться не можем.
Задачи к гл. XIV
1. Показать, что для волн, исследованных в гл. VII, условие ортогональности и норму можно сформулировать в терминах комплексной мощности.
Решение. Поскольку функции IIе(дг, у) и Пт(х, у) либо вещественны, либо отличаются от вещественной функции х и у только постоянным комплексным множителем, поперечные составляющие магнитного поля удовлетворяют соотношениям
