Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
U=-ECsUs при r>r0, tf. = Cv0t „(fr) Pv0t „(cos«),
U=EC-S U-s при г < r0. Us = %Q>n (kr) Рчо п (cos #).
Пользуясь формулами § 78, найти коэффициенты С, и С-,. Рассмотреть частные случаи у = я/2 и у=я при го->-0.
Решение. Радиальная составляющая электрического поля s-й волны в силу формул (20.16) и (2.3.04) равна v(v+\)UJr2 (v=v0,n), поэтому формулы (78.05) дают
Cs — -itopv(v + 1)*|>V (Ar0)/WsZ-Q. Cs= —mpv(v + l)Zv(kr0)/Nsrl t
где использовано условие Pv(I) = I для функций Лежандра; плотность стороннего тока je согласно § 73 имеет единственную составляющую
/ег = —ішрб (г—г0).
Остается только вычислить N,. Согласно формулам (20.16) поле s-й волны имеет поперечные составляющие
^ = T С M К («* -у- Sv (kr) ~ Pv (cos O),
а при замене s на — s надо вместо взять Из формул (23.06), (23.07) и (78.03) следует, что
V*) С (*)—<(*) W = i.
а в формуле (78.02) надо положить dS = /-2sin O1 drdftdy, тогда получаем
V IdP Y Ns = cka j I -^pj sinodO, v = v0t„.
Пользуясь уравнением (23.12) и условием (57j08), путем интегрирования по частям можно представить Ne в более простом виде
V
Ns= ck*v(v + l) N0itl, JV0tn= J [Pv (cos О)]2 sin О du,
о
и тогда
_ ІІ?_ % (*Ло) _ 2iр_ &у (krо)
CS~ kr* W0>n ,C-S" krl N0in ¦
'326 При у = я/2 условие (57.08) принимает вид Py(O)=O и его решениями становятся полиномы Лежандра нечетных степеней, т. е. числа v0,„ образуют последовательность нечетных чисел 1, 3, 5,... При &г0-»~0 в ряде остается талько первый член (л =Il), для (которого
vO ,1 = 1 - pI (cos ?) = cos d, % {kr0) = Vnkr J 2 J3/2 (kr0),
Действительно, при ,малых kr0 имеем
Ja/t = (^о/2)3/2 /( Y !) = (4/3 (^о/2)3/2, (Ar0) = (Ar0)2/3
я
Hm (kr 0) I(Zir0)* = 1 /3, fcr.-K)
S то время каїк все другие члены ,в пределе дают нули. Так как
я/2 я/2 j
JV0il= J [P1(COSd)I2Sindrfd= j COsaAsinfldfl= — , о о3
то окончательно можно написать
U = 2ikp ^1(Ar)Cosfl, S1 (?/-)=-(1+іlkr)?krt так что
Jkr
І і \ е1ЯГ Et = — 4 Ikp 1 + — ) — cos А, \ kr j г2
/ і IN Zikr E«=-2k>p — sinfl,
Яф= -у-' sinfl, Ett = Hr = Hii = Q
(а)
что дает поле элементарного диполя с моментом 2р, находящегося в начале координат. Удвоение момента !происходит за счет отражения в плоскости (ам. рис. 103,6). При Y=JT получаем поле диполя в свободном пространстве; в этом случае норма jV0j1 удваивается и в выражениях (а) вместо 2р будет просто р.
6. Исходя из формулы (79.20), найти значения V(+0), V(—0) и асимптотическое выражение для V(s) при s>l, используя тождество
J е-'2/2Л= У5Г. (а)
-OO
Доказать эквивалентность формул (79.20) и (79.21), используя дефференци-¦альное уравнение
V'(s) =_ isV{s)— е-мчуїіі. (b)
Решение. Как видно из формулы (79.20), V (s) есть нечетная функция s. При s>0 полюс подынтегральной функции в первом интеграле (79.20) расположен ,выше пути интегрирования, поэтому при S=+0, когда подынтегральная функция становится нечетной, интеграл сводится к половине вычета в точ-
'327 ке ^=0, следовательно, V(H-O) = -^-, a V(—0)=——. При |s]»l можно заменить t—e'n/*s на —eW4s, и тогда приближенно
V(s)=eW/j/2ns. (с)
Дифференциальное уравнение (b) для интетрала (79.20) выводится интегрированием по частям:
ІЛ/4 оо dt
v' w= T^r J
І 2л Jtxj (t —ZlnI4s)2
ія/4 оо . Jt
f 6 . = - і в F (S) - е /*}/2ЇГ,
J j -in/4 .
І2я J00 t — еіл/4
а для выражения (79.21) непосредственным дифференцированием. Полагая в интеграле (а) / = е-1я/Ч, получим
J eiT*/2 dx = 2 J Єіт'/2 dx = еіл/4 ya:
— со О
откуда видно, что выражения (79.20) и (79.21) при S= ±0 принимают одни и те же значения ±1/2 и, следовательно, тождественно равны.
Асимптотическое выражение (с) можно также получить из уравнения (6), полагая V'(s)=0; из уравнения (6) получаются также следующие члены асимптотического разложения.
Глава XV.
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРОВ
§ 80. Стоячие волны в прямоугольной полости
Объемным резонатором называется часть пространства, ограниченная металлической стенкой. В таком объеме могут происходить электромагнитные колебания, поэтому на сверхвысоких частотах он имеет свойства колебательного контура с высокой добротностью. Наряду с термином «объемный резонатор» в том же смысле применяются термины: резонансная полость, резонансный объем, полый резонатор, эндовибратор и т. д. Термин «эндовибра-тор» введен М. С. Нейманом, которому принадлежат важные исследования этих систем.
Изучение свойств объемных резонаторов начнем с собственных (или, иначе, свободных) колебаний резонаторов простейшей формы: прямоугольных, цилиндрических и сферических. При этом предположим, что стенки резонатора обладают идеальной проводимостью, а пространство внутри резонатора имеет электромагнитные свойства пустоты (е=ц=1). В дальнейшем от этих предположений удается избавиться (см. § 84 и 85).
Собственные колебания прямоугольной полости были изучены еще в 1905 г. Джинсом в связи с теорией теплового излучения. 328 Полученные при этом результаты представляют интерес для современной радиотехники, поскольку прямоугольные объемные резонаторы находят широкое применение в диапазоне сантиметровых волн.
