Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
'335 (81.02) и (81.03), полагая в них g=0 и h=k. С учетом формулы (29.10) получаем
Er = (A/r) sin kz, H9=—i (A/r) cos kz, (81.11)
причем
k=qnfl, q=l, 2,... (81.12)
Если основную волну в коаксиальной линии назвать (условно) волной Еоо, то соответствующие колебания в коаксиальном резонаторе будут обозначаться как Eooq- Собственная частота и собственная длина волны колебания E0oq равны f=cq/2l и X=2Ifq соответственно. Колебание ?ooi является основным лишь в достаточно длинном коаксиальном резонаторе (см. выше соображения о цилиндрических резонаторах).
§ 82 *. Сферический резонатор
Собственные колебания сферической полости радиуса а могут быть исследованы с помощью функций U и V, введенных в § 20. Функция U определяет по формулам (20.16) поле электрических колебаний в сферической полости, а функция V дает по формулам (20.17) поле магнитных колебаний. Сами функции U и V должны удовлетворять уравнению (20.18), подробно исследо. ванному в § 23. Частные решения этого уравнения имеют вид
U = А% (kr) Р™ (cos¦&) jcos m Фj (82.01)
Isinm фі
и
V = В % (kr) P« (cos d) I'C0Sm ф 1 , (82.02) ц Isinm ф)
причем функции ?,v(kr) и %^(kr), приводящие к бесконечно большим полям при г=а, исключаются. Индексы т должны быть целыми (т=0, 1, 2,...) в силу однозначности полей в каждой точке пространства внутри сферы. Индексы v и [х также должны быть целыми (v, р.= 1, 2,...) в силу конечности полей при #=0 и д=я ('См. § 23). Поскольку
P0(COSfl) = I, Pom(COSd)=O (от=1, 2,...), (82.03)
то при обращении v и [х в нуль электромагнитное поле по формулам (20.16) и (20.17) также равно нулю.
При г== а на идеально, проводящей стенке полости должны выполняться граничные условия (78.06) и (78.07). Поэтому собственные частоты электрических волн находятся из уравнения
(Aa)=Of v=l, 2..........(82.04)
а собственные частоты магнитных волн — из уравнения
ф д(Aa)=O, и= 1, 2,... (82.05)
'336 Если целое число V или [X обозначить чарез п, то q-й положительный корень уравнения (82.04) по определению дает собственную частоту колебания Emng, a q-й положительный корень уравнения (82.05) — частоту колебания Hmnq в сферическом резонаторе.
Собственные частоты сферического резонатора, получаемые из уравнений (82.04) и (82.05), не зависят от индекса т, а зависят лишь от индексов п и q. Поскольку при каждом п существует 2п+1 различных угловых функций Pn'»'(cos ft)cosm<p и /Vn(Costf) X Xsinmtp (см. конец § 23), то каждая собственная частота имеет кратность 2«+1. Это вырождение вызвано высокой степенью симметрии сферы. Выбор оси Z (#=0) для сферы произволен, при ином выборе получаются новые колебания, являющиеся линейными комбинациями прежних колебаний с одной и той же собственной частотой.
Для грубой оценки корней уравнений (82.04) и (82.05) воспользуемся асимптотическими выражениями. В силу формулы (23.08) при больших значениях ka имеем
^v (ka) = —sin [Aa— (rv-f-1) л/2],
(82.06)
¦фц (ka) =Cos[?a—([x-f-l)л/2], поэтому корни уравнения (82.04) приближенно равны
ka = vn/2 + (q— 1/2)я) (?=1,2,...), (82.07) а корни уравнения (82.05)
ka=]in/2-\-qn (<7=1,2,...). (82,08)
Формулы (82.07) и (82.08) дают тем лучшее приближение, чем меньше V и |д. и чем больше q. При небольших q (q= 1 или 2) эти формулы дают погрешность, но не очень большую. Так, при v=l наименьший корень уравнения (82.04) ka=2,75 (А=2,28а), в те время как по формуле (82.07) при <7= 1 получаем ka=n. При [X= 1 наименьший корень уравнения (82.05) ?a=4,50 (X= 1,40а), в то время как формула (82.08) дает ka=Зл/4 при <7=1.
Согласно введенной выше классификации значение ka=2,75 определяет частоту собственного колебания Eon, а значение ka= = 4,50 — частоту колебания Я0ц. Как видно из приближенных выражений (82.07) и (82.08), все остальные колебания имеют более высокие собственные частоты, так что колебание Eou является
Рнс. 114. Колебания Em и #оп в сферическом резонаторе (ось г направлена вертикально) основным. Его частота является трехкратно вырожденной, поскольку оба колебания Ещ (функция U которых пропорциональна cos ф или вігіф) имеют ту же собственную частоту. Собственному значению ka=4,50 соответствуют также еще два колебания Нш. Вырождение этих значений ka трехкратное, поскольку 2«+1=3 при п= 1.
На рис. 114 изображены силовые линии колебаний Eon и Hon в сферической полости. Легко показать, что поля колебаний ?ш и Яш получаются поворотом полей Eon и Hon на угол л/2 в плоскости X, Z или у, Z.
§ 83. Квазистатический расчет резонаторов сложной формы
Рассмотренные выше резонаторы простейшей формы имеют следующую особенность: длина волны основного колебания этих резонаторов равна (по порядку величины) их наибольшему размеру. Например, для кубической полости по формуле (80.12) получаем A= У 2а, где а — ребро куба.
Объемные резонаторы находят широкое применение в электронике сверхвысоких частот. Однако рассмотренное выше колебание не может эффективно взаимодействовать с электронным потоком ввиду того, что период колебания T= ]/ 2а]с составляет малую часть времени пролета электронов через резонатор Te=a/ve, где ve — средняя скорость электронов, которая обычно значительно меньше с. При своем движении через резонатор (например, в вертикальном направлении на рис. 110 — вдоль электрических силовых линий) электрон подвергается попеременно то ускорению в одном полупериоде колебания, то замедлению в другом полупериоде. В результате обмен энергией между ним и полем незначителен.
