Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
% (t) =2 і • • • J dX! • • • dxnAn (Xl • X/i) ? (t, X1) . . . cp Xj (18)
n
—вещественный функционал с потенциалами An, не зависящими от времени. Псевдоевклидова теория с действием S = = S' + S" после разворота переходит в евклидову теорию с действием Se = Se + S", так как форма (18) сохраняется
при развороте. Интеграл const j Dv exp iS(y) = G(A), нормированный условием G(O)=I, определяет согласно (1.74) сдвиг энергии основного состояния вследствие добавки взаимодействия (18): InG (А) = —ie(A) j dt. В евклидовом варианте G6 (Л) =
= const J Dcp exp Se (ср) = exp —є (Л) § dt , где є (Л) — тот же
самый функционал (сдвиг энергии), что и в псевдоевклидовой теории (см. п. 1.3). Если евклидова теория с действием Se является квазивероятностной, то выпуклость вниз по потенциалам Л функционалов Ge(A) и WQ (Л) = In Ge(A) прямо следует из результатов предыдущего раздела. Но теперь можно дать, оставаясь в рамках псевдоевклидовой теории, независимое доказательство выпуклости функционала в (Л). Доказательство, к которому мы переходим, основано на использовании спектральных представлений для функций Грина и справедливо для всех, а не только квазивероятностных, теорий. При этом мы будем пользоваться удобными терминами сред-нее значение и дисперсия и для псевдоевклидовых функциональных интегралов с весом exp/S(<p).
Из определений ясно, что удвоенная вторая вариация по потенциалам Л псевдоевклидового функционала W(A) =
= 1пО(Л) равна дисперсии функционала /SS" (<р) = і § dtoS? (t).
С другой стороны, из результатов пп. 1.3.3, 1.6.5 следует, что функциональное среднее от произведения Ъ?В(t)b9?(Jf) совпадает с вакуумным ожиданием дайсонова Г-произведения соот-
48
fr
і
ветствующих операторов в гайзенберговском преде тавлении, откуда
Ь{2) W (А) = - 4~ j J dtdt' (О I rD [Ъ& (t) IS (*')] 10) 1 св* (19)
где 10) — точное основное состояние для теории с действием S = S' + S", а индекс „св" обозначает „связную часть", т. е.
А
вычитание квадрата среднего ЬЗ?'(Y) из матричного элемента (19).
Если вариации потенциалов А не нарушают вещественности
9?(t), что мы будем предполагать, то оператор b3?(t), отличающийся от соответствующего классического функционала лишь заменой аргумента q>(x) на оператор поля в гайзенберговском представлении, будет эрмитовым.
Напишем теперь стандартное спектральное представление[1]:
(о і T0 [а? (t) ig (П]Ю)
(20)
А Л
Здесь рп = I (0 I Ъ2!\ п) I2, 62? — оператор в шредингеровском представлении, \ п) —ортонормированная система собственных состояний полного гамильтониана, En = En—E0 — энергия возбуждения. Числа гп неотрицательны, поскольку |0) — основное состояние. Условие пфО в (20) исключает вакуумное промежуточное состояние, что равносильно отбору связной части, т. е. вычитанию квадрата среднего.
По определению W(A) =—ie(A)fdt, так что &(2)W = = —і 6(2)є Jdt. Интеграл по t и t' от выражения (20) также пропорционален Jdt. В (19) этот бесконечный множитель сокращается и мы получаем
8W8(A) = - 2>>/e«)<°> (21)
что доказывает выпуклость вверх функционала г(А). Этот результат слабее, чем утверждения о выпуклости предыдущего раздела, поскольку сейчас речь идет о выпуклости по отношению к более узкому классу потенциалов, не зависящих от времени, но зато он справедлив для всех стабильных (имеющих основное состояние) теорий.* Отметим также, что в правой
'2вп?п
exp iE (г — t)
-в2п + /0
* Для пространственно-однородных систем очевидным следствием (21) является выпуклость вверх плотности энергии основного состояния є/V как функции константы связи к при взаимодействии. Если энергия основного состояния свободной теории принимается равной нулю (что обычно в теории поля), а вклад первого порядка по А, в энергию также равен нулю (что столь же обычно), то из выпуклости следует, что ? (X) имеет максимум при X = 0 и отрицательна при всех ^=^0. Другими словами, взаимодей-
149
части (21) возникает специфическая „голдстоуновская бесконечность", если основное состояние не отделено энергетической щелью от всех прочих, т. е. не соответствует изолированному невырожденному уровню полного гамильтониана.
ствие понижает энергию основного состояния от нуля до отрицательной величины. С точки зрения статистической физики (см. гл. V) отрицательность 8 означает положительность давления, развиваемого системой при нулевой температуре. Продолжая рассуждения Р. Фейнмана о роли энергии основного состояния в теории поля (с. 266, 267 в [13]), при развитом воображении можно связать положительность давления с расширением вселенной, но настаивать здесь, конечно, не следует {хотя бы потому, что нет уверенности в приложимости к макромасштабам теории, созданной для описания микропроцессов). Отметим, что в [13] обсуждалась не энергия взаимодействия, а свободная энергия вакуумных колебаний, которая положительна и соответствует отрицательному давлению. Обычно ее просто отбрасывают, соответственно переопределив гамильтониан.
ГЛАВА V. I СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Эта глава посвящена исключительно равновесной теории. Сначала рассматривается квантовая статистика систем типа бозе- пли ферми-газа, затем решеточные спиновые системы и классический неидеальный газ..
