Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
<^Nехр ?Л> = ехр(хЛаГЛ/2), (16)
Л А
в которой d(x, х') = <CjV[cp(X)<p(V)]3>. Формула (16) записана в универсальных обозначениях и справедлива для любой теории, исключая квантовомеханическую свободную частицу п. ПЛ.2.,
Из (16) с помощью соотношений (1.12), (1.92) получим формулу
«Л^(т)» = ехр
1 ъ , ъ d
2 otp
^(T)Uo, (17)
которую можно интерпретировать как теорему Вика для средних значений операторов в Af-форме. В фермионном случае обе
156
производные квадратичной формы считаются, как обычно, правыми. /
4. Диаграммные представления статсуммы и функций Грина.
1C помощью (17) легко вычисляются средние значения Г-произ-ведений:
« tf ( ф )» = «N ехр[4- ±. Ае ±V (ф) I_.» =
= ехр
q /а . ,V о
<N \-- p w i <S
Таким образом, две операции: приведение к iV-форме (1.46) и усреднение А-формы (17)—собираются в единую операцию, имеющую вид теоремы Вика со сверткой g"=Ae + d, где Ае — евклидов пропагатор, d — среднее Л^-произведения. Мы будем называть g температурной сверткой или температурным пропага-тором. В отличие от евклидового пропагатора g зависит явно от температуры через посредство входящих в d средних значений па.
Пользуясь (18), получаем следующие представления для статсуммы:
ZjZ0 = «Ue (8, 0)» = ехр (4- • if g if) ехр Sv? (ф) |?=0 (19)
и для производящего функционала полных функций Грина:
G3 (а) = « t ехр [sz^ (4) + ? а ]» =
=ехр(4-*^^^")ехРі^з^)+^л]і<р-о. (2°)
Во всех выражениях интегрирование по времени производится только по интервалу [0, ?]. Полная аналогия между (19), (20) и формулами (1.84), (1.88) теории поля позволяет автоматически перенести все результаты § 1.4 относительно диаграммных представлений на объекты (19), (20). Правая часть (19), если не полагать в ней ср = 0, имеет вид производящего функционала S-матрицы, частное Z/Z0 аналогично вакуумному ожиданию 5-матрицы, и т. д. Разумеется, все утверждения топологического характера, например связность логарифмов ZjZ0 и G$ или сокращение вакуумных петель в отношениях (4), остаются в силе.
5. Периодические продолжения функций Грина. В определении (1) оговаривалось условие O^^^? для времени каждого из полей. Правая часть (1) имеет смысл для всех времен и ее можно было бы рассматривать как естественное продолжение Нп$ на любые значения t\... tn, но тогда равенство (3) и его следствие (4) станут несправедливыми. Более удобным оказывается другое, а именно периодическое продолжение, которое для полей определяется правилом [34—36]:
?(* + /i?, х) = х), (21)
157
где п — любое целое число, к имеет обычный смысл. Периоди-ское продолжение (21) произвольной функции, заданной на интервале [0, ?], дается рядом Фурье:
?
/(0=2/яЄхріа>л^ fn = ^^atf(t)exp(-mnt), (22)
п О
в котором O)n = лл/?, а суммирование производится только по четным значениям п для четного продолжения (х = 1 в (21)) и только по нечетным п для нечетного продолжения (х = —1). Всюду в дальнейшем суммирование по частотам понимается именно таким образом.
Функции многих переменных продолжаются рядом Фурье по каждому аргументу. В частности, продолжение температурной свертки g(x, х') дается двойным рядом с коэффициентами
1 ? ?
gnm С*. *') = -у [ f did? g (х, X') exp [ - mnt — ттҐ]. (23)
о о
Воспользовавшись явными выражениями (6), (10), можно вычислить коэффициенты (23), которые оказываются отличными от нуля лишь при т — —п. Опуская простые выкладки, приведем результат: продолжение g имеет вид
g(x, x') = —2j Ып exp/O)111 -0 (24)
ПСИ
и формально одинаково для обеих статистик, разница между которыми проявляется лишь в условиях на частоты соп— четные для бозонов и нечетные для фермионов. Нетрудно заметить, что (24) получается простой заменой интегрирования на суммирование по частотам соп в спектральном представлении евклпдового пропагатора (6):
1/2*. Г-> ••• • (25>
Напомним, что в соответствии с общими правилами п. IV.1.1 спектральное представление евклидового пропагатора получается из псевдоевклидового представления (11.27) стандартными заменами t ->—it, E-^iE, dE-^idE.
Правая часть (25) является римановой суммой-для интеграла в левой части. Действительно, интервал между соседними частотами одинаковой четности равен 2K/? = Aco, так что
при ? -> OO
і Y і vi, . і
? Zj • • • 2tz
со со „
П П
158
Установим теперь связь между температурным пропагатором g
И ЛИНеЙНОЙ Операцией /(е, ЯВЛЯЮЩеЙСЯ ЯДрОМ еВКЛИДОВОГО CBO-
бодного действия. Для рассматриваемой сейчас теории Ke = = —d/dt—<§, где <§—одночастичный гамильтониан. Подействовав операцией Ke на первый аргумент свертки (24) с учетом равенства <§Фа = єаФа, получим
—г2ф*(х) ф* (х')ехр 14 {t' ~t)=
not.
= - 8 (X — х') 4- V1 ехр Ып (V — t). (27)
Сумма по а собралась в б(х—х'), поскольку Фа — полная орто-нормированная система. Теперь заметим, что деленная на ? сумма по частотам в правой части (27) есть не что иное, как ядро единичной операции на пространстве периодических функций t, поскольку эта величина совпадает, как нетрудно проверить, со стандартным периодическим продолжением 6(t—t'). Тем самым мы доказали справедливость равенства Keg — —In, правую часть которого нужно понимать как единичную операцию на пространстве периодических функций времени. Напомним, что в евклидовой,теории поля имелось соотношение /СеАе = —1, но тогда правая часть была единичной операцией на пространстве всех функций времени без каких-либо требований периодичности.
