Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Равенство Keg=—- In и правило (25) оказываются справедливыми для всех теорий. В качестве еще одного примера рассмотрим квантовомеханический осциллятор п. II.1.1. Евклидова свертка Де получается из (II.6) отбрасыванием- мно-
жителя / и заменой со2 -> — ш2; ядро d (t, V) = <^N (О] ^>
нетрудно вычислить, воспользовавшись явным выражением (II.3) для оператора поля, в котором нужно сделать замену t -> — it.
В результате получим d (t, V) == (п шт) •ch &(t— V), где п~ = <а+а> = ехр (— ра>)/1 — ехр (— За)). Представив температурный пропагатор двойным рядом Фурье и вычислив по известным функциям Ае и d коэффициенты ряда, найдем
ё^^) = шУ\TT-2 ехР ton (t' - t) (28)
п
(сумма по четным частотам). Ряд в правой части (28) получается из евклидового пропагатора A6 посредством той же замены (25). Соотношение Keg = —In, где Ke = m[d2/dt2—со2], также выполняется.
В заключение укажем те изменения, которые следует внести в формулы (19), (20) при их обобщении на продолженную теорию. Напомним, что представления (19), (20) были выведены
159
для теории на конечном интервале времени [0, ?] и все интегрирования по времени производились лишь по этому интервалу. Формулы останутся верными и для продолженной теории, если считать аргумент А произвольной функцией, заданной на всей
оси времени, а оператор поля ф, его классический аналог ф и свертку g понимать как периодические продолжения с интервала [0, ?]; интегрирования по времени в формах фЛ, фА и в квадратичной форме производных следует производить по всей оси.
С математической точки зрения красивее и естественнее считать интервал [0, ?] не отрезком прямой, а кольцом, и понимать поля и прочие величины как функции на кольце, однозначные для бозонов и двузначные для фермионов. Этот язык эквивалентен языку периодических продолжений.
6. Представления функциональными интегралами. Установленное в предыдущем разделе соотношение Keg = —In позволяет перенести на рассматриваемый случай результаты § IV.2 относительно интегральных представлений различных функционалов в евклидовой теории. Разница будет лишь в том, что теперь функциональное интегрирование будет производиться по пространству полей с должными (в соответствии со статистикой) свойствами периодичности, а интегрирование по времени в квадратичной форме свободного действия 5ор(ф) = ф/Сеф/2 и в функционале взаимодействия 5гр(ф) —по конечному интервалу [0, ?]. Для свободной теории
G(?0)(A) = exp
2
AgA
const ^Dc? ехр
і-?АГе<Р + ?Л , (29)
я в общем случае
G? (A) = const J D? exp[Sp(<p) + ?A], (ЗО)
где S? = S0? + Sv? — полный функционал действия (евклидов) для интервала [0, ?]. Условие периодичности позволяет отбрасывать внеинтегральные члены при интегрировании по частям в функционале свободного действия, что позволяет считать Ke симметричной операцией на пространстве периодических функций времени; это же условие обеспечивает однозначность определения обратной операции —К71 = g, возникающей при вычислении гауссова интеграла (29) с помощью сдвига.
Интеграл (30) нормируется обычным условием Gp(O) = 1 для свободной теории, для теории с взаимодействием величина G?(0) равна, как видно из (19), (20), отношению статсумм ZjZ0.
Для продолженной теории параметр А в (29), (30) следует считать произвольной функцией, заданной на всей оси времени, а интегрирование по времени в линейной форме фЛ производить по всей оси.
С точки зрения свойств вещественности полей, по которым производится функциональное интегрирование, представления
160
1
(29), (30) возможны в двух вариантах: по исходным и по развернутым полям, о чем подробно говорилось в § IV.2.
Коротко можно заключить так: квантовая статистика есть евклидова теория поля на конечном интервале времени с добавочным условием периодичности для полей.
7. Предельный переход к нулевой температуре. Из (26) видно, что в пределе нулевой температуры температурный про-пагатор переходит в евклидов: при ?->oo
g(x, *')-»Де(*. л'). (31)
Сходимость поточечная, т. е. утверждение (31) верно для любых фиксированных х, xr.
В формулы предыдущих разделов входил функционал действия для интервала [0, ?], и потому на первый взгляд кажется, что при ? оо квантовая статистика должна переходить в евклидову теорию поля на положительной полуоси времени. С другой стороны, считая действие функционалом от периодических полей и учитывая, что евклидов лагранжиан, будучи величиной бозонного типа, имеет четное продолжение, мы можем переписать функционал действия в виде интеграла по симметричному промежутку:
? ?/2
S? = $dt2e(t)= j dt&e(t). (32)
O -?/2
При такой записи формальный предельный переход ?->oo приведет нас к обычной евклидовой теории на всей оси времени.
Несмотря на то, что равенство (32) действительно верно, два формальных предела — теория на полуоси времени и теория на всей оси — существенно различны. Это доказывает лишь то, что формальный предельный переход является, вообще говоря, незаконным. Последнее понятно: диаграммам теории возмущений соответствуют многократные интегралы от произведений пропа-гаторов, а поточечная сходимость (31) не является достаточно хорошей для того, чтобы обеспечить возможность предельного перехода под знаком интеграла.
