Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Более подробный анализ показывает, что один из формальных пределов — теория на всей оси времени — все, же является правильным. Не останавливаясь подробно на доказательстве, приведем лишь простой пример, иллюстрирующий это утверждение.
Пусть ^(^-—произвольная функция, заданная на всей оси,
/(ш) — ее Фурье-образ: F(t) = 1 2тг-Г d^f (&) ехр Ш. Опреде-
лим периодическую функцию F$ (t):
= 2 /К) ехр і«вп' (33)
п
11 3uk. 102
161
(сумма по четным частотам), которая переходит з F(t) б пределе ?-^oo. Вследствие периодичности интегралы от F§(1) по промежуткам [0, ?] и [— ?/2, ?/2] совпадают. Из (33) ясно, что каждый из них равен ДО) и не зависит от ?. С другой стороны, формальными пределами соответствующих интегралов являются интегралы от предельной функции F (І) по полуоси и по вс:и оси соответственно. Ввиду произвольности F(t) эти пределы существенно различны и второй из них (по всей оси), равный /(0), оказывается правильным, т. с. совпадает с пределом интеграла по конечному промежутку.
8. Формула Фейнмана—Каца. Повторяя дословно рассуждения § II.4, можно вывести евклидов аналог соотношения (11.56). Результат, как обычно, получается стандартными заменами t ->-—it, iS -> .S0 из псевдоевклидового, и мы приведем сто
<х J ехр H (т' — т) I х'> — const \ ^ Do ехр Se (ср).
j (хх )
Функционал 5е(ф) в правой части — евклидово действие на интервале т'^^<Ст. а интегрирование производится по траекториям с заданными краевыми значениями х, х' на концах интервала.
Если положить т = ?, х = 0, то левую часть можно истолковать как координатное представление матрицы плотности р - ехр (—[5H):
Вычисляя след матрицы плотности, получаем статсумму Z:
Этот результат справедлив, в частности, и для квантовсмехапи-ческой свободной теории п. II.1.2, которая до сих пор исключалась из рассмотрения. Отметим, что правая часть (35) является, как и (30), интегралом по всем периодическим полям: условие периодичности (21) для бозонного поля ф(7) означает ф(р) = = ф(0), а интегрирование по полям, удовлетворяющим условию ф(р) = ф(0) = х, вместе с последующим интегрированием ПО X эквивалентно, очевидно, интегрированию по всем периодическим полям (т. е. по замкнутым траекториям).
Соотношение (34) в отличие от большинства подобных формул допускает математически4 корректное истолкование [38], а именно: для свободной теории п. II. 1.2, в которой действие S0p> есть просто интеграл по времени от кинетической энергии с минусом, символ
оез вывода:
Z ==tr o = const г г Dv ехр S- (z>
(35)
(36)
действительно определяет меру Винера р (ср; ?", хь X2) на пространстве непрерывных, но не обязательно дифференцируемых функций с заданными краевыми условиями. Подчеркивая этот факт, соотношение (34) переписывают в виде
и называют формулой Фейнмана — Каца. Мера |.i оказывается при этом сосредоточенной на недифференцируемых функциях, так что запись (36) чисто символическая.* Математическая корректность представления (37) для достаточно хороших S1^ позволяет использовать его для получения различных строгих результатов, касающихся, например, существования термодинамического предела в квантовой статистике [39].
9. Свойства выпуклости. Функциональные интегралы в ста-
тистике отличаются от интегралов евклидовой теории поля л лінь конечностью области интегрирования по времени в функционале действия и требованиями периодичности для полей. Соображения п. IV.3.1 остаются в силе, и потому можно утверждать, что в квазивероятностных теориях Gp(А) и его логарифм являются выпуклыми вниз функционалами А и прочих неременных, входящих линейно в действие.
В действительности единственной практически важной для статистики квазивероятностной теорией является квантовая механика с хорошим потенциалом. Релятивистские квазивероятностные теории скалярного и векторного полей представляют, видимо, лишь академический интерес, а наиболее важная в практическом отношении нерелятивистская теория § П.2 не является квазивероятностной.
Как и в теории поля, в статистике существует универсальное свойство выпуклости по отношению к потенциалам, не зависящим от времени, — аналог соотношения (IV.21). Доказательство, к которому мы переходим, почти дословно повторяет
рассуждения п. IV.3.2. Пусть Sp- Sp + Sp, где — интеграл по времени от 0 до 3 от вещественного (при неразвернутых
полях) функционала (IV. 18), пусть Op (/l)=const f Dy exp 5;, (ср)—
функционал, нормированный условием Gp(O) = I. Мы хотим показать, что Gp {A) и его логарифм [A) являются выпуклыми вниз функционалами потенциалов An в (IV.18). Прежде всего заметим, что сам функционал Gp положителен, посколь-
ку он равен отношению статсумм теорий с действием S и Sp соответственно, а всякая статсумма неотрицательна как след положительного оператора exp [— 8H].
Далее, очевидно, что вторая вариация G3 пропорциональна функциональному среднему с весом exp Sp(cf) от квадрата
P(X1, X2)= f Di-t(c?; j3, X1, X2) exp .? (с?)
(37)
* Напомним, что S0C (ср) содержит производную ф по времени.
И
163
вариации действия 8Sp, а вторая вариация логарифма (?р пропорциональна соответствующей дисперсии;^ положительность дисперсии является автоматическим следствием положительности среднего значения квадрата.
