Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
* Отметим, что сходимость интеграла в отличие от бозонного случая не связана со свойствами знакоопределенности К.
64
сверткой А, входящей в функционал (89) (ниже убедимся, что это сомнение основательно).
Поэтому задачу нужно поставить следующим образом: пусть А(х, х') — некоторое наперед выбранное решение уравнения KA = І, т. е. одна из функций Грина (оговорка ,,с точностью до Г подразумевается) линейной операции К. Требуется подобрать такое пространство интегрирования E(A), что К на нем— невырожденная операция, а ядром однозначно определенной операции iK~l оказывается выбранная нами функция А.
• В приложениях роль А будет играть определенная независимо соотношением (29) хронологическая свертка, являющаяся согласно (31) одной из функций Грина для операции К.
Покажем, как построить искомое пространство E(A). При вычислении интеграла от ехр/ [ф/Сф/2-ЬфД] делается сдвиг ф-мр—ф0 переменной интегрирования, который, во-первых, не должен менять области интегрирования, что равносильно требованию фо (+E(A)1 и, во-вторых, должен устранять линейные по ф члены в показателе интегрируемой экспоненты, что при условии симметричности К на E(A) равносильно требованию К(?о=А* Формальное решение этого уравнения имеет вид фо=-= К~ЛА = —іAA, и мы хотим, чтобы дополнительное условие <р0^Я(А) однозначно приводило бы к выбору наперед заданной функции Д.
Из сказанного ясно, что пространство E(A) должно быть инвариантно по отношению к сдвигам на функции вида /АД, где А — выбранная функция Грина. Функциональный аргумент А играет в гауссовом интеграле роль параметра, и мы будем считать, что А принадлежит пространству E хорошо убывающих полей с должными (в зависимости от теории) свойствами вещественности. Естественным кандидатом на роль E(A) является тогда пространство ІАЕ, т. е. множество всех функций вида ф = /Дф/, где фх — произвольная функция из Е. Проверим, что определенное таким образом пространство E(A) удовлетворяет всем необходимым требованиям. Во-первых, форма Фі/Сф2 определена для любых (p\2QE(A). Действительно, представив каждую из функций фа в виде iAcp'a и воспользовавшись
равенством KA=', мы придем к выражению Дфі'-фг', конечность которого обеспечена условиями фі.гбЕ". Во-вторых, если выбранная функция А симметрична, то К — симметричная операция на E(A), т. е. фі •/Сф^ = /СтФі • Ф2 = х/Сфі • ф2, в чем нетрудно убедиться с помощью подстановки фа^'Дфа'. Отметим, что свойство симметричности К нетривиально, поскольку функции из E(A), как мы увидим ниже, не являются хорошо убывающими при /->±оо. Перенос дифференциальной операции К на другой аргумент подразумевает интегрирование по частям, и симметричность означает, что при таком переносе не появляются внеинтегральные члены. Следует подчеркнуть, что приведенное выше доказательство симметричности относится только
j Зак. 102 65
к самой операции К, а вовсе не ко всякой дифференциальной операции—в общем случае интегрирование по частям для функций из E(A) приводит к появлению внеинтегральных членов.
В-третьих, операция К на E(A) невырождена, т. е. однородное уравнение К(р = 0 не имеет нетривиальных решений в E(A). Действительно, взяв ф = і Aq и потребовав Kq = 0, получим ф' = = 0, откуда ф = 0. Поэтому неоднородное уравнение Kq)=A с
уСЛОВИеМ ф E (А) Имеет еДИНСТВеННОе решение ф = ?*АЛ, чего*
мы и добивались. Требование ф GE(A) равносильно, как мы сейчас убедимся, постановке определенных асимптотических условий для уравнения Kq=A. і
Пространство E(A) содержит в себе пространство хорошо убывающих функций E9 в чем можно убедиться, взяв в качестве ср' в представлении Cp = ZACp', функцию вида /Сер", у"?Еу для которой ср = — <р"?Е. Но в общем случае функции иа E(A) не являются хорошо убывающими при t->±oo. Действительно, из (29) и условия у'QE следует, что функция ср = /Да/ имеет при t -> оо асимптотику 0/+) = //10/, а при t -> —> —00 — асимптотику ср(-) = Zx/iT<p'. Из (31) видно, что каждая из этих асимптотик является решением свободного уравнения: /С<р(+> =/С<р(-) = 0. Решения ср(±) в общем случае различны, но/не вполне независимы, так как обе асимптотики определяются одной и той же функцией ср' Q Е. С физической точки зрения решения свободного уравнения не принадлежат классу хорошо убывающих полей, поскольку таким решениям соответствуют отличные от нуля потоки (числа частиц, энергии и т. п.) при Z=X00. Поэтому мы не имеем права определять интересующий нас гауссов интеграл как интеграл по пространству хорошо убывающих полей — в общем случае сдвиги на /АЛ, Л QE выводят из этого пространства и пользоваться формулой (161) нельзя.
Сведения об асимптотиках функций из E(A) для различных конкретных теорий приводятся в § II. 5.
В заключение отметим, что в бозонных теориях осциллятор-ного типа (см. следующую главу) гауссов интеграл можно доопределять посредством регуляризации /(-WC8 = ZC-He, которая
делает однозначной операцию A8 = ZZCs1. В таких теориях определенная соотношением (29) свертка А совпадает с пределом при е->0 операции A8 при должном выборе знака є, причем этот знак всегда оказывается таким, что добавка Ze вводит в интегрируемое выражение режущий, а не растущий множитель, делая гауссов интеграл формально „сходящимся". Регуляри-зованная свертка A8 оказывается хорошо убывающей при \1—Л-э-оо, и потому все функции вида іД8ф', образующие пространство E(A8), также будут хорошо убывающими. Но эта процедура неуниверсальна: есть случаи, когда A=^=IImA8 при 8->0 (см. п. II. 1.2) или приходится использовать разные Д. для одной и той же операции К (см. § II. 2).
