Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
J dxL (х, х). Для вычисления определителей полезна также формула
d trlii \К—Щ = — trw [К — Щ~\ (147)
dK
в которой Я — число, и — некоторая операция, которую желательно выбрать так, чтобы можно было явно найти ядро операции [К—%и]~х (при и = 1 это резольвента /С), а по нему — правую часть (147). Вычислив затем первообразную правой части, мы найдем trln [К—Ku] = \ndet[K—Xu] с точностью до не завися-
59
щей от X аддитивной постоянной, чего часто бывает достаточно (см. пример в п. V. 1.11).
Возвращаясь к формулам (145), (146), покажем, что в универсальных обозначениях, в которых ф и ф+ считаются независимыми компонентами единого поля Ф, формулой (145) можно пользоваться и для комплексного поля. Записав показатель интегрируемой экспоненты в (146) в виде
(і о)(л+)"~^ФХФ + Ф^'
возьмем интеграл (146) по правилу (145). При этом нужно учесть, что в одномерном случае замене ср, cp+->Recp, Im ср соответствует формально якобиан —21, так что D Re ср D Im ср =
= (— 2/)~7)Ф, где /)Ф = оср/)ср+, V — „размерность" пространства ср (размерность численно равна следу единичного оператора в данном пространстве). Таким образом, вычислив записанный в универсальных обозначениях интеграл в левой части
(146) по правилу (145), получим (— 2ip det [Х/2к]~1,2'Х "1
X ехр -у s?gTX~lgs? . Мы хотим показать, что это выражение совпадает с правой частью (146). Равенство показателей экспонент легко проверяется:
а в совпадении предэкспоненциальных множителей нетрудно убедиться, воспользовавшись равенством
det Ж = det ^ ^Tj=(-l)vdet^2 (148)
и приняв во внимание, что Ж— операция з пространстве раз-
мерности 2v и потому det [Ж/2тс] = (2k)~2v det Ж.
Итак, мы убедились, что при использовании универсальных обозначений все гауссовы интегралы можно вычислять по правилу (145).
Формулы (145), (146) рассматриваются в дальнейшем как определение функционального гауссова интеграла. Это определение не может, конечно, претендовать на математическую строгость, но в известном смысле оно ,,более однозначно'', чем использованное еще Фейнманом (который первым ввел в физику функциональные интегралы) определение посредством процедуры интерполяции [13].* В дальнейшем мы будем обращать-
* При этом функциональная переменная интегрирования ф аппроксимируется некоторой интерполирующей функцией, которая задается конечным набором числовых параметров (например, близкой кусочно-линейной). Интеграл по всем ф заменяется обычным многократным интегралом по этим параметрам, затем исследуется предел при возрастании точности аппрокси-
60
ся с функциональными интегралами точно так же, как с хорошо сходящимися обычными интегралами: в частности, будем делать в них замены переменных интегрирования и дифференцировать по параметру под знаком интеграла. Не пытаясь обосновать законность подобных действий, отметим только, что именно таким путем можно быстро получать различные замкнутые соотношения, которые в теории возмущений выводятся с помощью бесконечных суммирований диаграмм,
2. Интегралы на грассмановой алгебре. Интеграл на конечномерной грассмановой алгебре (см. п. 1.3) с образующими <р = ф! ... фп определяется как линейный функционал 1(f) на пространстве функций (6), заданный на базисных мономах 9іі - - • 9ik следующими соотношениями [2]:
7K-TiJ = 0 ПРИ 7(Ti?2 ?я) = (2ісГя/2. (149)
Эти соотношения считаются верными при любом выборе образующих, т. е. „интеграл не зависит от обозначения переменных интегрирования". Если записывать символ /(/) в виде /ОфДф) и понимать его как повторный интеграл (Оф = Офп ... Офі), то определение (149) можно переформулировать в виде следующего правила вычисления однократных интегралов для каж-
дой из образующих фг-: JT^1=O, /Офіфг= (2л) . Символы Dy1 считаются при этом антикоммутирующими друг с другом и с образующими ф/і, кфі. Можно также рассматривать интегралы не по всем, а по части образующих; те щ, по которым не производится интегрирование, можно выносить за знак интеграла, не забывая при этом об их антикоммутативности с символами Dept.
Из определения (149) вытекает, что для любой /(ф)
j Dcp (df(9)!db) = J D? (д/ (?)/(??,) = 0, (150)
поскольку вклад в интеграл дает лишь старший моном ф[...фп, которого заведомо нет в производной df/dq>i.
Выведем формулу линейной замены переменных в интеграле f(f). Пусть ф = Z-xJ), где L — произвольная невырожденная (т. е. detL^O) матрица. Если бы ф и if были обычными переменными, а не образующими грассмановой алгебры, то мы могли бы написать
J ==1-/^/(^), (151)
мации. Если предел существует, то он и считается по определению значением функционального интеграла. Хорошо известно (см., например, [14, 15]), что это определение неоднозначно: ответ явно зависит от выбора способа интерполяции. Поэтому мы не будем его использовать, а положим в основу формулы типа (145), которые обеспечивают однозначность хотя бы при вычислении с помощью функциональных интегралов членов ряда теории возмущений (см. также замечание в § II. 4).
61
где J=D(f>/D\\) = detL — якобиан преобразования. Для грассмановой алгебры соотношение (151) сохраняется, но теперь / — неизвестная величина, которую нужно найти, исходя из (151) и определения (149).
