Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Из (89) видно, что для свободной теории W(А) — —хАДЛ/2. Сравнивая это выражение с квадратичным слагаемым W2 (іAf 2 в разложении (127), необходимо учитывать, что -принятый в (85) порядок аргументов не соответствует матричной записи квадратичной формы и при перестановке полей Л появляется дополнительный знаковый множитель: W2A2 — *А W2A. Учитывая это, получаем, что для свободной теории W2 = A, а прочие связные функции Wn равны нулю.
Графики Wq1 не имеющие внешних линий А со свободными аргументами, называют связными вакуумными петлями; графики Wi с одной свободной внешней линией называют „головастиками" (tadpole). Мы этим термином пользоваться не будем. Вторую связную функцию W2(x, х') называют полным пропа-гатором в отличие от затравочного пропагатора А(х, хг) (хронологической свертки). Выше было показано, что для свободной теории полный пропагатор совпадает с затравочным.
Возвращаясь к соотношению (126), отметим, что из него следует равенство G0 = ехр W0 для нулевых функций Грина. Нулевая функция G0 есть вакуумное ожидание S-матрицы
52
(см. п. 3.3). Полученное выше равенство показывает, что его логарифм есть сумма всех связных вакуумных петель.
Константа W0 входит в (127) аддитивно и выделяется в виде множителя G0 = CXpUT0 из каждой полной функции Грина: Gn = Hn ехр W{). Сравнение с (76) показывает, что Hn являются функциями Грина (58). Ясно, что функции Hn получаются из Gn отбрасыванием всех графиков, содержащих в качестве несвязных поддиаграмм вакуумные петли, что и объясняет термин „функции Грина без вакуумных петель". Соответствующий производящий функционал H(A) выражается через связные функции Wn с п > 0:
OO
со
H (A)= ^ ± Hn(IAf = ехр ± Wn (ІАУ.
/z=O w = l
Сравнивая коэффициенты при степенях іАу получаем
#0=1, H1=Wu H2=W2 +WtWu
а общая формула записывается следующим образом:
Tw ,
(128)
(129)
Hn(X1 ... xn) = (~ty
Tw
о
+
Ь A(Xn) ' оА(хп)
Ь A(X1) 1 5.4(JCi) •1
5
(130)
Приведем также определение ампутированных функций Грина
Wn (X1 ... Xn) = Г ... Г dx\ ... dx'n D (X1, х[) .. .
...D(xn, Xn) Wnm{x[ ... х'п). (131)
»
В этой формуле ядро D(x, хг) обозначает полный пропагатор W2(x, хг). Это обозначение будет часто использоваться, а равенства типа (131) в дальнейшем будут записываться сокращенно: Wn = DnWT, WT = D^Wn.
Пользуясь определениями (85), (131), нетрудно показать,
что(DnWT) Ап= WnA11 = WT (D1AY, т. е. переброс линейной
операции с ядра W*nm на аргументы А сопровождается ее транспонированием. Учитывая это, получаем следующие формулы связи для производящих функционалов:
W(A) = W*m(DTA), W*m(A)= W(D-1TA). (132)
Вследствие симметричности пропагатора DT можно заменить на xD.
В заключение отметим, что функционал W(A) можно просто связать с логарифмом S-матрицы, воспользовавшись соотношением (93).
53
§ 5. УНИТАРНОСТЬ S-МАТФИЦЫ^
1. Операция сопряжения. Обсудим свойства операции сопряжения, которая понадобится в дальнейшем для формулировки условия унитарности.
Мы будем понимать эту операцию как обычное эрмитово со-пряжение для операторов, комплексное сопряжение для бозон-ных классических полей и определенную формально операцию инволюции на грассмановой алгебре для антикоммутирующих классических фермионных полей. Операция инволюции на грассмановой алгебре обладает такими же свойствами, как эрмитово сопряжение операторов, в частности (AB) + = B+A+.
Если все рассматриваемые поля вещественны, то сопряжение есть тождественное преобразование. В общем случае при использовании универсальных обозначений сопряжение есть некоторое линейное преобразование ср-мр+ = /ср единого поля ф, поскольку в соответствии с договоренностью ср включает в качестве независимых компонент как поля сра, так и ср+. Ядро
линейной операции / является матрицей по тем дискретным индексам, которые, будучи включены в аргументы х, различают компоненты сра и ср+. По остальным аргументам, в том числе
по времени, ядро / кратно единичной операции. Отметим также равенство 1*1=1 (для линейных операций звездочкой обозначается комплексное сопряжение), означающее, что двукратное сопряжение есть тождественное преобразование.
Равенство F(q>) + = F+(cp) является определением сопряженного операторного функционала. Нетрудно убедиться, что свойство симметричности ядер Fn при сопряжении сохраняется.
Л А
Из определения (24) и равенства ср+ = /ср нетрудно получить {Sym [^(-T1) у(хп))}+ =Sym{[9(x1) ... ?(xrt)]+}.
(133)
Это показывает, что операции сопряжения и симметризации перестановочны. Аналогичное (133) равенство для ^-произведения будет справедливо тогда, когда слагаемые а и ft в разло-
АЛА
жении ср = а + Ь (см. п. 1.4) переходят при сопряжении друг в друга с ^точностью до линейного преобразования. Обычно это условие выполняется (единственным исключением является Л'-произведение, которое будет введено в п. II. 1.2), и в дальнейшем мы будем считать, что
№[i(Xi).-. V(Xn)]I + = Ni[I(X1)... ?(хп)]+}. (134)
Из (133) и (134) следует, что [NF(у)]+ = NF+ (ср) и аналогично для Sym-произведения. Для Г-произведения подобное равенство неверно.
