Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
(см. (30)) и аналогично A->/is. Остается воспользоваться равенством п8 — п&, о котором говорилось в конце предыдущего раздела.
После перехода к приведенному взаимодействию (142) в (140) остаются лишь диаграммы без закороченных линий. Вследствие нечетности функционала (142) по аргументу и условия Ij)2 = O из каждой вершины диаграммы должна выходить хотя бы одна направленная линия, изображающая свертку ф2 с if і. Отсюда следует, что в любой диаграмме с необходимостью будет присутствовать замкнутый цикл направленных
линий М2ь а так как соответствующая свертка (141) является опережающей, вклад диаграммы равен нулю. Это верно для любой диаграммы,, что и доказывает искомое утверждение.
Приведенное выше доказательство унитарности опирается на /-локальность и эрмитовость взаимодействия и на общую формулу связи (29) между простой и хронологической свертками. Напомним, что мы исходили из представления (64) для производящего функционала S-матрицы и предполагали, что функционал взаимодействия не содержит производных поля по времени. Доказательство обобщается непосредственно и на взаимодействия с производными по времени, если они рассматри-
л л
ваются на языке системы независимых полей уп = дпц)/діп (см. п. 3.4). Но на языке эффективного взаимодействия (83) дело обстоит сложнее.
Of
ехр
2
0 "г о
А
5 Cp2
оср2
^W- ехР
2
O
OCp1
Как указывалось в п. 3.4, эффективное взаимодействие всегда имеет лагранжеву форму, но соответствующий лагранжиан в общем случае неэрмитов. Эта неэрмитовость должна, казалось бы, приводить к нарушению унитарности. Но для взаимодействия с производными по времени есть еще один эффект, ведущий к нарушению унитарности, и эти два эффекта взаимно компенсируют друг друга. Суть второго эффекта в следующем: мы считали очевидным, что наличие внутри диаграммы замкнутого цикла опережающих функций означает обращение в нуль вклада диаграммы. Но это верно лишь тогда, когда заранее известно, что соответствующее диаграмме выражение не может быть сингулярным настолько, чтобы содержать б-образные особенности при совпадении всех или части временных аргументов ti (приписываемых вершинам диаграммы). Если же такие особенности есть и замкнутый цикл опережающих функций накладывается на одну из них, то получающееся выражение, строго говоря, не определено, но после разумного доопределения может оказаться отличным от нуля. Именно так обстоит дело в тех случаях, когда функционал взаимодействия содержит производные поля по времени, и при эрмитовом взаимодействии этот эффект приводил бы к нарушению унитарности. Как уже говорилось выше, в случае эффективного взаимодействия (83) наличие производных по времени компенсируется неэрмитово-стью и функционал S-матрицы оказывается унитарным в порядках теории возмущений (подробнее см., например, [10—12]).
§ 6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1. Гауссовы интегралы. В следующих разделах будут рассмотрены представления различных величин функциональными (континуальными) интегралами, а сейчас мы обсудим простейшие из таких интегралов — гауссовы.
Напомним сначала правила вычисления гауссовых интегралов на конечномерных пространствах. Пусть х, у — вещественные я-мерные векторы, ху = ^^іУі — вещественное скалярное произведение, х/(х = ^ XiKlsxs — положительно определенная квадратичная форма, Dx = dxv... dxn. Тогда
J(K1 у) = } Dx ехр Г 1
det
2к
-1-1'2
ехр
X Kx + ху
~уД у
(143)
где Кх—обратная к К матрица. При вычислении интеграла делается замена х = xf -\-K~ly, устраняющая линейный член в показателе экспоненты: хКх — 2ху = х'Кх'—уК~1у. Множитель ехр [у/С""1у/2] выносится за знак интеграла, а остающийся интеграл J(K, 0) вычисляется с помощью замены
х'— К V2x": якобиан Dx'IDx" = det К 12 выделяется множителем, остается интеграл У(1, 0), который равен (2tc)"/2, где п — размерность пространства. Множители 2^ мы ввели под знак det, пользуясь тем, что det [W] — det /С. Для комплексных переменных аналогичная (143) формула выглядит следующим образом:
J D RezD Im z ехр [— z+Kz+y+z-\-z^y] =
= det [К/*]'1 ехр [у+К~1у]. (144)
В дальнейшем мы будем использовать соотношения (143), (144) не только для положительно определенных, но и для любых невырожденных матриц К. Это равносильно доопределению несобственных гауссовых интегралов посредством аналитического продолжения по матричным элементам /С Формулы (143), (144) очевидным образом обобщаются на бесконечномерные функциональные пространства:
^Лсрехр^-усрАГср + <fA =det[AT/2^]~1/2exp \ АК~1А
і
(145)
D Re <рD Im ср ехр [ — <р+/(<р + ср+Л -f- А+ср] =
= det [АГ,*]"1 ехр [AW1A]. (146)
Символ J* Dy... понимается как интеграл по некоторому
линейному пространству функций, ср/С? — невырожденная квадратичная форма на этом пространстве, К'1—обратная к К
операция, у А = §dx<f(x) А(х) — линейная форма, функция А
играет роль параметра.
Определители линейных операций вычисляют обычно с помощью формулы In det/С = tr In/С. Если AT=I +Af, то логарифм операции 1 + M можно разложить в ряд M — M2,2 + + М:і/3 —.... След общего члена ряда легко вычислить, если M — линейная интегральная операция с известным ядром М(х, х'); произведению операций соответствует свертка ядер, след линейной интегральной операции с ядром L (х, xf) равен
